Exresse as integrais abaixo como limite de somas de Riemann.
\int_{1}^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral
\int_{1}^{3}x\,dx
como limite de somas de Riemann. O conteúdo aqui é a definição de integral definida via partição do intervalo em n subintervalos, escolha de um ponto de amostragem em cada subintervalo e soma de retângulos cujo limite, quando n\to\infty, dá a integral.

Passo 2

Dividimos o intervalo [1,3] em n subintervalos de mesmo comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n}.
Marcamos os pontos da partição por
x_i = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{2i}{n},
para i=0,1,2,\dots,n.

Passo 3

Escolhemos, por exemplo, o extremo direito de cada subintervalo como ponto de amostragem. Assim, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] tomamos
x_i^* = x_i = 1 + \frac{2i}{n}.
O valor da função nesse ponto é f(x_i^*)=x_i^*. A soma de Riemann é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(1 + \frac{2i}{n}\Bigr)\,\frac{2}{n}.

Passo 4

A definição de integral diz que
\int_{1}^{3}x\,dx = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(1 + \frac{2i}{n}\Bigr)\,\frac{2}{n}.

Resposta

\int_{1}^{3}x\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(1 + \frac{2i}{n}\Bigr)\,\frac{2}{n}.

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