Exresse a quantidade dada como um único logaritmo.
\log _{5} 10+\log _{5} 20-3 \log _{5} 2

Passo 1

O enunciado pede para expressar como um único logaritmo a combinação \log_{5}10 + \log_{5}20 - 3\log_{5}2.
Vamos usar as propriedades de logaritmos:
  1. \log_{a}x + \log_{a}y = \log_{a}(x\,y)
  2. \log_{a}x - \log_{a}y = \log_{a}\bigl(x/y\bigr)
  3. k\,\log_{a}x = \log_{a}\bigl(x^{k}\bigr)

Passo 2

Aplicando a soma de logaritmos:
\log_{5}10 + \log_{5}20 = \log_{5}\bigl(10 \cdot 20\bigr) = \log_{5}200.

Passo 3

Reescrevendo o termo com coeficiente:
3\log_{5}2 = \log_{5}\bigl(2^{3}\bigr) = \log_{5}8.
Portanto a expressão fica \log_{5}200 - \log_{5}8.

Passo 4

Agora usamos a diferença de logaritmos:
\log_{5}200 - \log_{5}8 = \log_{5}\!\bigl(\tfrac{200}{8}\bigr) = \log_{5}25.

Resposta

\log_{5}25

Exercícios relacionados