Mostre que
e
, para todo
.
Passo 1
Neste exercício vamos provar três identidades envolvendo funções hiperbólicas:
,
e
. Vamos usar as definições em termos de exponenciais e as relações entre as funções hiperbólicas.
Passo 2
Para mostrar
, lembramos que
Calculamos
Subtraindo, vemos que
Passo 3
Para provar
, usamos as definições
Eleva-se ao quadrado:
Então
onde usamos a identidade já demonstrada no passo anterior.
Passo 4
Por fim, para
, lembramos
Elevando ao quadrado,
Como
, obtemos
Resposta
As três identidades ficam comprovadas: