Mostre que cosh ^2 x-sinh ^2 x=1, sech^2 x=1-tanh ^2 x e coth^2 x=1+csch^2 x, para todo x in R.

Passo 1

Neste exercício vamos provar três identidades envolvendo funções hiperbólicas: cosh^2 x - sinh^2 x = 1, sech^2 x = 1 - tanh^2 x e coth^2 x = 1 + csch^2 x. Vamos usar as definições em termos de exponenciais e as relações entre as funções hiperbólicas.

Passo 2

Para mostrar cosh^2 x - sinh^2 x = 1, lembramos que
cosh x = e^x + e^-x2,
sinh x = e^x - e^-x2
Calculamos
cosh^2 x = l(e^x + e^-x2r)^2 = e^2x + 2 + e^-2x4,
sinh^2 x = l(e^x - e^-x2r)^2 = e^2x - 2 + e^-2x4
Subtraindo, vemos que
cosh^2 x - sinh^2 x = e^2x + 2 + e^-2x - (e^2x - 2 + e^-2x)4 = 44 = 1

Passo 3

Para provar sech^2 x = 1 - tanh^2 x, usamos as definições
sech x = 1cosh x,
tanh x = sinh xcosh x
Eleva-se ao quadrado:
sech^2 x = 1cosh^2 x,
tanh^2 x = sinh^2 xcosh^2 x
Então
1 - tanh^2 x = cosh^2 x - sinh^2 xcosh^2 x = 1cosh^2 x = sech^2 x,
onde usamos a identidade já demonstrada no passo anterior.

Passo 4

Por fim, para coth^2 x = 1 + csch^2 x, lembramos
coth x = cosh xsinh x,
csch x = 1sinh x
Elevando ao quadrado,
coth^2 x = cosh^2 xsinh^2 x,
csch^2 x = 1sinh^2 x
Como cosh^2 x = 1 + sinh^2 x, obtemos
coth^2 x = 1 + sinh^2 xsinh^2 x = 1 + 1sinh^2 x = 1 + csch^2 x

Resposta

As três identidades ficam comprovadas:
cosh^2 x - sinh^2 x = 1,
sech^2 x = 1 - tanh^2 x,
coth^2 x = 1 + csch^2 x

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