Extenda periodicamente e determine a série de Fourier para
Use a série de Fourier da função
para obter uma expressão em série para
e
.
Passo 1
O enunciado pede que estendamos
e que obtenhamos sua série de Fourier. Em seguida, precisamos usar essa série para deduzir representações em série de
. O conteúdo é série de Fourier em intervalo
.
Passo 2
Calculamos o coeficiente constante
:
Passo 3
Calculamos os coeficientes
:
Fazendo duas integrações por partes chega-se a
logo
Passo 4
Calculamos os coeficientes
:
Integrações por partes sucessivas levam a
Passo 5
A série de Fourier de
fica, em
,
Passo 6
Para obter séries conhecidas, avaliamos a série nos pontos de convergência:
- Em
, o lado direito vale , e , . Logo
- Em
, a série converge para . Como e ,