(1,5) Extenda periodicamente e determine a série de Fourier para
f(t)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se }-\pi \leq t<0 \\\ t^{2}, \text { se } 0 \leq t<\pi \end{array}\right.
(0,5) Use a série de Fourier da função f para obter uma expressão em série para \frac{\pi^{2}}{6} e \frac{\pi^{2}}{12}.

Passo 1

O enunciado pede que estendamos f\) de período \(2\pi\) com \[f(t)= \begin{cases} 0, & -\pi \le t<0,\\\ t^2, & 0\le t<\pi, \end{cases}
e que obtenhamos sua série de Fourier. Em seguida, precisamos usar essa série para deduzir representações em série de \pi^2/6\] e \(\pi^2/12. O conteúdo é série de Fourier em intervalo [-\,\pi,\pi].

Passo 2

Calculamos o coeficiente constante a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,\mathrm dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t^2\,\mathrm dt =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} =\frac{\pi^2}{3}.

Passo 3

Calculamos os coeficientes a_n n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t^2\cos(nt)\,\mathrm dt.
Fazendo duas integrações por partes chega-se a
\int_{0}^{\pi}t^2\cos(nt)\,\mathrm dt =\frac{2\pi(-1)^n}{n^2},
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a_n=\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

Calculamos os coeficientes b_n n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,\mathrm dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t^2\sin(nt)\,\mathrm dt.
Integrações por partes sucessivas levam a
b_n=-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 5

A série de Fourier de f fica, em -\pi<t<\pi,
f(t) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\Bigr] =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\!\Biggl(\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nt) +\Bigl[-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi n^3}\Bigr]\sin(nt)\Biggr).

Passo 6

Para obter séries conhecidas, avaliamos a série nos pontos de convergência:
  1. Em t=0, o lado direito vale f(0)=0, e \cos(n\cdot0)=1, \sin(n\cdot0)=0. Logo
0=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n^2} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}.
  1. Em t=\pi, a série converge para \tfrac{f(\pi^-)+f(-\pi^+)}2=\tfrac{\pi^2+0}2=\tfrac{\pi^2}2. Como \cos(n\pi)=(-1)^n e \sin(n\pi)=0,
\frac{\pi^2}{2} =\frac{\pi^2}{6}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n^2}(-1)^n =\frac{\pi^2}{6}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}.

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