(2,0) Resolva o seguinte problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+y=g(t), \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1, \quad g(t)=\left\{\begin{array}{cl} 1, & 0 \leq t \leq \pi / 2 \\\\ -1, & t \geq \pi / 2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y'' + y = g(t),
com condições iniciais y(0)=2\), \(y'(0)=-1\) e forçamento em escada \[g(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t \le \pi/2,\\\\ -1,& t \ge \pi/2. \end{cases}
O método será resolver em cada intervalo como y''+y=\] constante, encontrando a solução geral (soma da homogênea e de uma particular) e depois ajustar constantes pelas condições iniciais e pela continuidade em \(t=\pi/2.

Passo 2

Para 0 \le t \le \pi/2 temos
y''+y=1.
A solução geral da homogênea y_h''+y_h=0 é
y_h(t)=C\cos t + D\sin t,
e uma solução particular constante y_p=A satisfaz A+0=1, logo y_p=1. Assim
y_1(t)=C\cos t + D\sin t + 1.

Passo 3

Aplicando as condições em t=0: y_1(0)=C\cdot1 + D\cdot0 +1=2 C+1=2\Rightarrow C=1.
Para a derivada,
y_1'(t)=-C\sin t + D\cos t,
então y_1'(0)=D=-1.
Logo
y_1(t)=\cos t - \sin t + 1,\quad 0\le t\le \pi/2.

Passo 4

Para t\ge \pi/2 a equação é
y''+y=-1.
De modo análogo, a homogênea é A'\cos t + B'\sin t e a particular constante y_p=-1. Assim
y_2(t)=A'\cos t + B'\sin t -1.

Passo 5

Impondo continuidade de y e de y' em t=\pi/2:
  1. y_1(\pi/2)=0 -1 +1=0 deve igualar y_2(\pi/2)=A'\cdot0 + B'\cdot1 -1 = B' -1. Daí B'-1=0\Rightarrow B'=1.
  2. y_1'(\pi/2)=-\sin(\pi/2)-\cos(\pi/2)=-1-0=-1 deve igualar y_2'(\pi/2)=-A'\sin(\pi/2)+B'\cos(\pi/2)=-A'. Daí -A'=-1\Rightarrow A'=1.
Portanto
y_2(t)=\cos t + \sin t -1,\quad t\ge \pi/2.

Resposta

y(t)=\cos t - \sin t + 1,\quad 0\le t\le \frac{\pi}{2},
y(t)=\cos t + \sin t - 1,\quad t\ge \frac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados