(2,0) Resolva os seguinte problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y=\delta_{\pi}(t)-\delta_{2 \pi}(t) \quad y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 4y = \delta_{\pi}(t) - \delta_{2\pi}(t), \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
ou seja, uma EDO linear de segunda ordem com forçantes impulsivas em t=\pi e t=2\pi. Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, aproveitando que \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{\delta_a(t)\}=e^{-a s}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. No lado esquerdo:
\mathcal{L}\{y''\} +4\,\mathcal{L}\{y\} =(s^2Y(s)-s\cdot1-0)+4Y(s) =(s^2+4)\,Y(s)-s.
No lado direito:
\mathcal{L}\{\delta_{\pi}(t)-\delta_{2\pi}(t)\} =e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}.

Passo 3

Igualando as duas expressões, temos
(s^2+4)\,Y(s)-s = e^{-\pi s}-e^{-2\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s}{s^2+4} +\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s^2+4}.

Passo 4

Agora fazemos a inversa de cada termo. Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s}{s^2+4}\Big\}=\cos(2t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^2+4}\Big\}=\frac12\sin(2t).
Pela propriedade do deslocamento de tempo, \mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a). Assim,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{-\pi s}}{s^2+4}\Big\} =\frac12\,u(t-\pi)\,\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr),
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+4}\Big\} =\frac12\,u(t-2\pi)\,\sin\bigl(2(t-2\pi)\bigr).

Resposta

y(t) =\cos(2t) +\tfrac12\,u(t-\pi)\,\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr) -\tfrac12\,u(t-2\pi)\,\sin\bigl(2(t-2\pi)\bigr).

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