1. (Extra 1.0pt) Dê exemplo de uma sequência decrescente X_{1} \supset X_{2} \supset X_{3} \supset \ldots de conjuntos infinitos cuja interseção \bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} seja vazia.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência decrescente de conjuntos infinitos
X_{1}\supset X_{2}\supset X_{3}\supset\cdots
tal que
\bigcap_{n=1}^{\infty}X_{n}=\emptyset.
O conteúdo aqui é teoria básica de conjuntos: sequência decrescente (cadeia invertida) e interseção de famílias de conjuntos.

Passo 2

Vamos escolher como universo \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} e definir, para cada n\ge1,
X_{n} = \{\,k\in\mathbb{N}\mid k\ge n\}.
Em outras palavras, X_{1}=\{1,2,3,\dots\}, X_{2}=\{2,3,4,\dots\}, etc.

Passo 3

Mostramos que a sequência é decrescente. Se k\in X_{n+1}, então k\ge n+1, logo k\ge n, isto é, k\in X_{n}. Portanto
X_{n+1}\subset X_{n} \quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Cada X_{n} é infinito porque contêm todos os naturais n,n+1,n+2,\dots. Assim há infinitos elementos em cada conjunto.

Passo 5

Agora a interseção. Se existisse k em
\bigcap_{n=1}^{\infty}X_{n},
então k deveria satisfazer k\ge n para todo n\in\mathbb{N}. Mas não há natural maior ou igual a todos os n. Logo não existe tal k, e
\bigcap_{n=1}^{\infty}X_{n}=\emptyset.

Resposta

Um exemplo é
X_{n} = \{\,k\in\mathbb{N}\mid k\ge n\},
que são conjuntos infinitos, formam uma sequência decrescente e têm interseção vazia.

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