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- (Extra 1.0pt) Dê exemplo de uma sequência decrescente
de conjuntos infinitos cuja interseção
seja vazia.
- (Extra 1.0pt) Dê exemplo de uma sequência decrescente
de conjuntos infinitos cuja interseção seja vazia.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência decrescente de conjuntos infinitos
tal que
O conteúdo aqui é teoria básica de conjuntos: sequência decrescente (cadeia invertida) e interseção de famílias de conjuntos.
Passo 2
Vamos escolher como universo
e definir, para cada
,
Em outras palavras,
,
, etc.
Passo 3
Mostramos que a sequência é decrescente. Se
, então
, logo
, isto é,
. Portanto
Passo 4
Cada
é infinito porque contêm todos os naturais
. Assim há infinitos elementos em cada conjunto.
Passo 5
Agora a interseção. Se existisse
em
então
deveria satisfazer
para todo
. Mas não há natural maior ou igual a todos os
. Logo não existe tal
, e
Resposta
Um exemplo é
que são conjuntos infinitos, formam uma sequência decrescente e têm interseção vazia.