Determine:
\operatorname{Re} \frac{(1+i)^{2}}{3+2 i}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte real de
\frac{(1+i)^{2}}{3+2i}.
Estamos trabalhando com números complexos, então vamos primeiro expandir o numerador, depois fazer a divisão de complexos racionalizando o denominador e, por fim, extrair a parte real do resultado.

Passo 2

Calculamos o quadrado de (1+i):
(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i.

Passo 3

Substituindo no quociente, temos
\frac{(1+i)^{2}}{3+2i} = \frac{2i}{3+2i}.

Passo 4

Para dividir por 3+2i, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 3-2i:
\frac{2i}{3+2i} = \frac{2i\,(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{6i -4i^{2}}{3^{2} + 2^{2}} = \frac{6i -4(-1)}{9+4} = \frac{4 + 6i}{13}.

Passo 5

O número resultante é
\frac{4 + 6i}{13}.
A parte real desse número é o coeficiente de 1, ou seja, \tfrac{4}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{13}

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