Calcule os limites abaixo justificando seus argumentos.
(2.0pt) \lim \sqrt[n]{n!}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da sequência a_n = \sqrt[n]{n!} quando n\to\infty. O conteúdo aqui é limite de sequência e a ideia é mostrar que a_n cresce sem limite, ou seja, vale usar uma desigualdade que forneça um minorante de a_n que tenda a +\infty.

Passo 2

Para n\ge2, dos fatores que compõem n! (que são 1,2,3,\dots,n), pelo menos metade deles — exatamente n/2 fatores — é maior ou igual a n/2. Logo,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n \;\ge\; 1\cdot 2\cdot \underbrace{\tfrac{n}{2}\cdot \tfrac{n}{2}\cdots \tfrac{n}{2}}_{n/2\text{ vezes}} = \biggl(\tfrac{n}{2}\biggr)^{\tfrac{n}{2}}.

Passo 3

Aplicando a raiz n-ésima em ambos os lados da desigualdade anterior, obtemos
\sqrt[n]{n!} \;\ge\; \sqrt[n]{\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)^{\tfrac{n}{2}}} = \Bigl(\tfrac{n}{2}\Bigr)^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{\tfrac{n}{2}}.

Passo 4

Como \sqrt{\tfrac{n}{2}}\to+\infty quando n\to\infty, o mesmo ocorre com \sqrt[n]{n!} por comparação. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=+\infty.

Resposta

\displaystyle +\infty

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