Extra 11. (integral definida)
\int_{1}^{4} \frac{\log x}{\sqrt{x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{1}^{4}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais e, em seguida, resolver uma integral de \ln t por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição x=t^2. Assim, temos
dx = 2t\,dt,\quad \sqrt{x}=t,\quad \ln x = \ln(t^2)=2\ln t
e os limites em x=1 e x=4 passam a ser t=1 e t=2. A integral fica
\int_{1}^{4}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx =\int_{1}^{2}\frac{2\ln t}{t}\,2t\,dt =4\int_{1}^{2}\ln t\,dt

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{1}^{2}\ln t\,dt, usamos integração por partes com
u = \ln t,\quad dv = dt
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du = \frac{1}{t}\,dt,\quad v = t
e
\int_{1}^{2}\ln t\,dt = \bigl[t\ln t - t\bigr]_{1}^{2} = (2\ln2 - 2) - (1\cdot\ln1 - 1) = 2\ln2 -2 -(-1) = 2\ln2 - 1

Passo 4

Voltando à integral original, multiplicamos por 4:
\int_{1}^{4}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = 4\bigl(2\ln2 - 1\bigr) = 8\ln2 - 4

Resposta

8\ln2 - 4

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