Extra 11. (integral definida)
\int_{1}^{\sqrt{\log 2}} x^{3} e^{x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{\sqrt{\log 2}} x^{3} e^{x^{2}} \,dx.
O conteúdo é integração de uma função do tipo x^{n}e^{x^{2}}, que costuma ser resolvida por substituição simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2}, \quad dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dt}{2}.
Repare que x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = t\cdot\frac{dt}{2}. Logo a integral indefinida vira
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int t\,e^{t}\,dt.

Passo 3

Para calcular \int t\,e^{t}\,dt usamos integração por partes ou lembramos da fórmula padrão:
\int t\,e^{t}\,dt = t\,e^{t} - \int e^{t}\,dt = t\,e^{t} - e^{t} + C.
Assim uma antiderivada é
F(x) = \frac{1}{2}\bigl(t\,e^{t}-e^{t}\bigr) \Big|_{t=x^{2}} = \frac{1}{2}e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr) + C.

Passo 4

Agora avaliamos de x=1 até x=\sqrt{\ln 2}:
F\bigl(\sqrt{\ln 2}\bigr) = \frac{1}{2}e^{\ln 2}\bigl(\ln 2 -1\bigr) = \frac{1}{2}\cdot 2\,(\ln 2 -1) = \ln 2 -1,
F(1) = \frac{1}{2}e^{1}(1-1) = 0.
Logo a integral é
F\bigl(\sqrt{\ln 2}\bigr) - F(1) = (\ln 2 -1) - 0 = \ln 2 -1.

Resposta

\ln 2 -1

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