Extra 11. (integral definida)
\int_{1 / 2}^{1} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado nos dá a integral definida
\int_{1/2}^{1} \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx
e pede seu valor exato. O conteúdo envolvido é integração por substituição de variável, com u=\tfrac1x.

Passo 2

Definimos
u = \frac{1}{x},
logo
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\,du.
Substituindo na integral,
\int_{1/2}^{1} \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = \int_{x=1/2}^{x=1} e^{u}\,(-du).

Passo 3

Quando x=\tfrac12 temos u=2 e quando x=1 temos u=1. Assim,
\int_{x=1/2}^{x=1} e^{u}(-du) = \int_{u=2}^{u=1} \bigl(-e^{u}\bigr)\,du = \int_{u=1}^{u=2} e^{u}\,du.

Passo 4

A antiderivada de e^{u} é e^{u}. Logo,
\int_{u=1}^{u=2} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{2} = e^{2} - e^{1} = e^{2} - e.

Resposta

e^{2} - e

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