Extra 11. (integral definida)
\int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{\sqrt{1-y}} d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{\sqrt{1 - y}}\,dy.
O conteúdo envolvido é a função Beta, pois temos integranda do tipo y^{a-1}(1-y)^{b-1}. Vamos usar a relação
\int_{0}^{1} y^{a-1}(1-y)^{b-1}dy = B(a,b) \quad\text{com}\quad B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.

Passo 2

Expressamos a integranda em formato de Beta. Note que
\frac{y^{2}}{\sqrt{1 - y}} = y^{3-1}\,(1-y)^{\frac12-1}.
Logo, na forma y^{a-1}(1-y)^{b-1} temos
a - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 3, \qquad b - 1 = -\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad b = \tfrac12.

Passo 3

Pelo teorema da função Beta, a integral é
I = B(3,\tfrac12) = \frac{\Gamma(3)\,\Gamma(\tfrac12)}{\Gamma(3+\tfrac12)} = \frac{\Gamma(3)\,\Gamma(\tfrac12)}{\Gamma(\tfrac72)}.

Passo 4

Agora usamos valores conhecidos de \Gamma:
\Gamma(3) = 2!, \qquad \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) = \sqrt{\pi}, \qquad \Gamma\bigl(\tfrac72\bigr) = \frac{5}{2}\,\frac{3}{2}\,\frac{1}{2}\,\sqrt{\pi} = \frac{15}{8}\,\sqrt{\pi}.

Passo 5

Substituindo essas expressões em I, temos
I = \frac{2!\,\sqrt{\pi}}{\tfrac{15}{8}\,\sqrt{\pi}} = \frac{2\;\cdot\;1}{\tfrac{15}{8}} = 2 \times \frac{8}{15} = \frac{16}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{15}

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