Extra 11. (integral definida)
\int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta \sqrt{\operatorname{sen} \theta} d \theta;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\,\sqrt{\sin\theta}\,d\theta.
O conteúdo principal aqui é uso de substituição em integrais. Vamos precisar reconhecer que a derivada de \sin\theta é \cos\theta, o que sugere uma troca de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin\theta, \quad du = \cos\theta\,d\theta.
Quando \theta=0, temos u=\sin0=0. Quando \theta=\pi/2, temos u=\sin(\pi/2)=1. A integral passa a ser
\int_{0}^{1} \sqrt{u}\;du.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em potência, temos
\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.
Usando a regra de potência para integração,
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.

Passo 4

Avaliaremos a primitiva \tfrac{2}{3}u^{3/2} de u=0 até u=1:
\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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