Extra 12. (Integrais Impróprias)
\int_{1}^{+\infty} \frac{\log x}{x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{\log x}{x^{2}} \, dx,
que envolve um limite no infinito e requer técnicas de integração por partes para encontrar a antiderivada de \frac{\log x}{x^{2}}.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite:
\int_{1}^{+\infty} \frac{\log x}{x^{2}} \, dx =\lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b}\frac{\log x}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para integrar \int \frac{\log x}{x^{2}}\,dx usamos partes. Seja
u=\log x,\quad dv=x^{-2}dx
então
du=\frac{dx}{x},\quad v=-\frac{1}{x}.
Logo,
\int \frac{\log x}{x^{2}}\,dx =uv-\int v\,du =-\frac{\log x}{x}-\int\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\frac{dx}{x} =-\frac{\log x}{x}+\int \frac{dx}{x^{2}} =-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}+C.

Passo 4

Avaliamo o limite usando a antiderivada:
\lim_{b\to+\infty}\Bigl[\Bigl(-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}\Bigr)\Big|_{1}^{b}\Bigr] =\lim_{b\to+\infty}\Bigl(-\frac{\log b}{b}-\frac{1}{b}\Bigr) -\Bigl(-\frac{\log1}{1}-\frac{1}{1}\Bigr).
Como \log1=0, \frac{\log b}{b}\to0 e \frac{1}{b}\to0, resulta
0 - (0 - 1)=1.

Resposta

1

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