Extra 11. (integral definida)
\int_{\log 2}^{\log 3} \frac{e^{x}}{e^{x}+4} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\log 2}^{\log 3} \frac{e^{x}}{e^{x}+4}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é substituição para simplificar o integrando, reconhecendo que a derivada de e^{x} é e^{x}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = e^{x},
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dt = e^{x}\,dx.
Quando x = \log 2, temos t = e^{\log 2} = 2.
Quando x = \log 3, temos t = e^{\log 3} = 3.
Assim, a integral em x vira uma integral em t:
\int_{\log 2}^{\log 3} \frac{e^{x}}{e^{x}+4}\,dx = \int_{t=2}^{t=3} \frac{1}{t+4}\,dt.

Passo 3

Agora, reconhecemos que
\int \frac{1}{t+4}\,dt = \ln\bigl|t+4\bigr| + C.
Como t+4>0 no intervalo [2,3], podemos escrever
\int_{2}^{3} \frac{1}{t+4}\,dt = \left[\ln(t+4)\right]_{2}^{3}.

Passo 4

Avaliamo o resultado nos limites:
\left[\ln(t+4)\right]_{2}^{3} = \ln(3+4) - \ln(2+4) = \ln(7) - \ln(6) = \ln\!\bigl(\tfrac{7}{6}\bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl(\tfrac{7}{6}\bigr)

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