Extra 11. (integral definida)
\int_{\pi^{2}}^{4 \pi^{2}} \frac{\operatorname{sen} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi^{2}}^{4\pi^{2}}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx.
O conteúdo é mudança de variável em integral definida, usando u=\sqrt{x}.

Passo 2

Definimos
u = \sqrt{x}\implies x = u^{2},\quad dx = 2u\,du.
Quando x=\pi^{2}, u=\pi. Quando x=4\pi^{2}, u=2\pi.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{\pi^{2}}^{4\pi^{2}}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx =\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin u}{u}\cdot 2u\,du =\int_{\pi}^{2\pi}2\sin u\,du.

Passo 4

Calculemos a integral de 2\sin u:
\int 2\sin u\,du = -2\cos u + C.
Logo,
\int_{\pi}^{2\pi}2\sin u\,du =\bigl[-2\cos u\bigr]_{\pi}^{2\pi} =-2\cos(2\pi)+2\cos(\pi) =-2\cdot1 +2\cdot(-1) =-4.

Resposta

-4

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