(EXTRA) Apresente um exemplo de um subconjunto
do
que não seja um subespaço do
, mas que tenha as seguintes propriedades: a soma seja fechada em
e
também pertence a
.
Passo 1
O enunciado pede um subconjunto
que satisfaça:
- Se
então (fechamento da soma). - Se
então (fechamento pelo inverso aditivo).
Mas que falhe em ser subespaço linear de, ou seja, falhe em fechar em multiplicação por escalar real.
Passo 2
Uma escolha clássica é
isto é, o conjunto
.
Passo 3
Para ver que a soma é fechada, sejam
e
em
. Como
são todos inteiros,
tem coordenadas inteiras e, portanto, pertence a
.
Passo 4
Para ver que
contém o inverso aditivo, se
com
, então
também tem coordenadas inteiras, logo
.
Passo 5
Porém
não é subespaço de
porque falta fechar em multiplicação por escalares reais. Por exemplo, tome
Então
não tem coordenada inteira, logo
. Assim,
falha em ser subespaço.