(EXTRA) Apresente um exemplo de um subconjunto S do R^2 que não seja um subespaço do R^2, mas que tenha as seguintes propriedades: a soma seja fechada em S e forall u in S,-u também pertence a S.

Passo 1

O enunciado pede um subconjunto SsubseteqR^2 que satisfaça:
  1. Se u,vin S então u+vin S (fechamento da soma).
  2. Se uin S então -uin S (fechamento pelo inverso aditivo).
    Mas que falhe em ser subespaço linear de R^2, ou seja, falhe em fechar em multiplicação por escalar real.

Passo 2

Uma escolha clássica é
S = (x,y)inR^2 : xinZ e yinZ,
isto é, o conjunto Z^2subsetR^2.

Passo 3

Para ver que a soma é fechada, sejam (x1,y1) e (x2,y2) em S. Como x1,x2,y1,y2 são todos inteiros,
(x1,y1)+(x2,y2) = (,x1+x2,;y1+y2,)
tem coordenadas inteiras e, portanto, pertence a S.

Passo 4

Para ver que S contém o inverso aditivo, se (x,y)in S com x,yinZ, então
-(x,y) = (-x,-y)
também tem coordenadas inteiras, logo - (x,y)in S.

Passo 5

Porém S não é subespaço de R^2 porque falta fechar em multiplicação por escalares reais. Por exemplo, tome
u = (1,0)in S e alpha = tfrac12inR
Então
alpha,u = l(tfrac12,0r)
não tem coordenada inteira, logo tfrac12,unotin S. Assim, S falha em ser subespaço.

Resposta

S = (x,y)inR^2 : x,yinZ

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