Para as questões 1 e 2 considere A=[rrrr2 & 5 & -5 & 1 -2 & -2 & 5 & 5 4 & 4 & -10 & 2].
1 1,0 ponto Marque abaixo uma solução não-trivial para o sistema A x=0.
(3) (5,0,2,0)
(b) (4,0,3,0)
(c) (5 / 2,0,3,0)
(d) (2,0,5,0)
(e) (5,0,0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma solução não-trivial para o sistema linear A x = 0, onde A é a matriz dada. Isso significa que estamos procurando um vetor x diferente do vetor zero que, quando multiplicado pela matriz A, dá o vetor zero. Para resolver isso, vamos testar cada uma das opções fornecidas e ver qual delas satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como multiplicar a matriz A pelo vetor x. A matriz A tem 3 linhas e 4 colunas, e o vetor x tem 4 componentes. O resultado dessa multiplicação será um vetor de 3 componentes. Cada componente do resultado é a soma dos produtos correspondentes das linhas da matriz e das entradas do vetor.

Passo 3

Vamos começar verificando a opção (a) (5,0,2,0). Multiplicamos cada linha de A por x:
  • Primeira linha: 2*5 + 5*0 + (-5)*2 + 1*0 = 10 + 0 - 10 + 0 = 0
  • Segunda linha: -2*5 + (-2)*0 + 5*2 + 5*0 = -10 + 0 + 10 + 0 = 0
  • Terceira linha: 4*5 + 4*0 + (-10)*2 + 2*0 = 20 + 0 - 20 + 0 = 0
Como todas as linhas resultaram em 0, a opção (a) é uma solução não-trivial para o sistema.

Passo 4

Embora já tenhamos encontrado uma solução, vamos verificar as outras opções para garantir que não haja mais soluções:
  • Opção (b) (4,0,3,0):
    • Primeira linha: 2*4 + 5*0 + (-5)*3 + 1*0 = 8 + 0 - 15 + 0 = -7 neq 0
    • Como não deu zero, essa opção não é válida.
  • Opção (c) (2.5,0,3,0):
    • Primeira linha: 2*2.5 + 5*0 + (-5)*3 + 1*0 = 5 + 0 - 15 + 0 = -10 neq 0
    • Não atende à condição.
  • Opção (d) (2,0,5,0):
    • Primeira linha: 2*2 + 5*0 + (-5)*5 + 1*0 = 4 + 0 - 25 + 0 = -21 neq 0
    • Também não é válida.
  • Opção (e) (5,0,0,3):
    • Primeira linha: 2*5 + 5*0 + (-5)*0 + 1*3 = 10 + 0 + 0 + 3 = 13 neq 0
    • Não satisfaz a equação.

Resposta

A solução não-trivial para o sistema A x = 0 é a opção (a) (5,0,2,0).

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