(EXTRA 2,0 pontos) Calcule, caso exista, o limite
, onde
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
,
onde
onde
e
é a norma euclidiana
.
O conteúdo aqui é teste de existência de limites em duas variáveis, que pode ser feito usando coordenadas polares ou examinando diferentes trajetórias de chegada.
O conteúdo aqui é teste de existência de limites em duas variáveis, que pode ser feito usando coordenadas polares ou examinando diferentes trajetórias de chegada.
Passo 2
Escrevendo diretamente a fração temos
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares, definindo
e
. Então
e a expressão fica
Passo 4
Como o resultado em coordenadas polares é
, ele não depende de
mas varia com
. Por exemplo, ao aproximar por
(eixo
) obtemos
, e por
(eixo
) obtemos
. Logo o valor do limite depende da trajetória, não existe um valor único.
Resposta
O limite não existe.