(EXTRA 2,0 pontos) Calcule, caso exista, o limite lim (R, k) (0,0) f(lambda, k)|(lambda, k)|^prime, onde f(x, y)=x^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
L = lim(lambda,k)to(0,0) f(lambda,k)lvert(lambda,k)rvert,
onde
f(x,y)=x^3x^2+y^2
e lvert(lambda,k)rvert é a norma euclidiana raizlambda^2+k^2.
O conteúdo aqui é teste de existência de limites em duas variáveis, que pode ser feito usando coordenadas polares ou examinando diferentes trajetórias de chegada.

Passo 2

Escrevendo diretamente a fração temos
f(lambda,k)lvert(lambda,k)rvert = lambda^3lambda^2+k^2raizlambda^2+k^2 =lambda^3(lambda^2+k^2)^3/2

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares, definindo
lambda = rcostheta e k = rsintheta. Então
lambda^2+k^2 = r^2, lambda^3 = r^3cos^3theta,
e a expressão fica
lambda^3(lambda^2+k^2)^3/2 = r^3cos^3theta(r^2)^3/2 = r^3cos^3thetar^3 = cos^3theta

Passo 4

Como o resultado em coordenadas polares é cos^3theta, ele não depende de r mas varia com theta. Por exemplo, ao aproximar por theta=0 (eixo x>0) obtemos cos^30=1, e por theta=pi (eixo x<0) obtemos cos^3pi=(-1)^3=-1. Logo o valor do limite depende da trajetória, não existe um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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