Extra - (3 pontos) Dada a matriz , encontre uma matriz R tal que R^2=A. A matriz R é chamada uma raíz quadrada de A. Quantas raizes quadradas tem a matriz A ?
"Não estejais inquietos por coisa alguma; antes as vossas petições sejam em tudo conhecidas diante de Deus pela oração e súplica, com ação de graças. "Filipenses 4:6
Passo 1
O enunciado pede uma matriz R tal que
R^2=A,
onde
A=5 & 4[6pt]4 & 5
Esse problema entra no tema “raízes quadradas de matrizes” e vamos usar o fato de que A é simétrica positiva definida, então pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal P, e daí extrair a raiz quadrada dos autovalores.]
Passo 2
Encontrar autovalores e autovetores de A. O polinômio característico é
Os autovetores correspondentes são, por exemplo, ,v1=(1,1)^T para lambda1=9 e ,v2=(1,-1)^T para lambda2=1.
Normalizando e montando a matriz ortogonal P, temos
P=1raiz21 & 1[4pt]1 & -1, D=9 & 0[4pt]0 & 1,
de modo que
A = P,D,P^-1,
e como P é ortogonal, P^-1=P^T.]
Passo 3
Para obter R fazemos a raiz quadrada de D, trocando cada lambdai por raizlambdai. Escolhendo a raiz positiva em cada caso, definimos
Cada autovalor lambdai pode contribuir com duas escolhas de sinal para sua raiz quadrada, pmraizlambdai. Como são dois autovalores distintos, o número total de matrizes R que satisfazem R^2=A é