Extra - (3 pontos) Dada a matriz A=(ll5 & 4 4 & 5), encontre uma matriz R tal que R^2=A. A matriz R é chamada uma raíz quadrada de A. Quantas raizes quadradas tem a matriz A ?
"Não estejais inquietos por coisa alguma; antes as vossas petições sejam em tudo conhecidas diante de Deus pela oração e súplica, com ação de graças. "Filipenses 4:6

Passo 1

O enunciado pede uma matriz R tal que
R^2=A,
onde
A=5 & 4[6pt]4 & 5
Esse problema entra no tema “raízes quadradas de matrizes” e vamos usar o fato de que A é simétrica positiva definida, então pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal P, e daí extrair a raiz quadrada dos autovalores.]

Passo 2

Encontrar autovalores e autovetores de A. O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det5-lambda & 4[4pt]4 & 5-lambda =(5-lambda)^2-16 =lambda^2-10lambda+9,
cuja solução é
lambda1=9, lambda2=1
Os autovetores correspondentes são, por exemplo,
,v1=(1,1)^T para lambda1=9 e
,v2=(1,-1)^T para lambda2=1.
Normalizando e montando a matriz ortogonal P, temos
P=1raiz21 & 1[4pt]1 & -1, D=9 & 0[4pt]0 & 1,
de modo que
A = P,D,P^-1,
e como P é ortogonal, P^-1=P^T.]

Passo 3

Para obter R fazemos a raiz quadrada de D, trocando cada lambdai por raizlambdai. Escolhendo a raiz positiva em cada caso, definimos
D^1/2=3 & 0[4pt]0 & 1
Então
R = P,D^1/2,P^-1 = 1raiz21 & 1[4pt]1 & -1 3 & 0[4pt]0 & 1 1raiz21 & 1[4pt]1 & -1
Fazendo as multiplicações, obtemos
R = 124 & 2[4pt]2 & 4 = 2 & 1[4pt]1 & 2,
e de fato
2 & 1[4pt]1 & 2^2 =5 & 4[4pt]4 & 5=A ]

Passo 4

Cada autovalor lambdai pode contribuir com duas escolhas de sinal para sua raiz quadrada, pmraizlambdai. Como são dois autovalores distintos, o número total de matrizes R que satisfazem R^2=A é
2^2=4

Resposta

Uma raiz quadrada de A é
R=2 & 1[4pt]1 & 2,
e, no total, A possui 4 raízes quadradas.]

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