Seja T: R^3 R^3 a transformação que projeta cada vetor x=(x1, x2, x3) sobre o plano x2=0, de modo que T(x)=(x1, 0, x3). Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação T: R^3 to R^3 dada por T(x1,x2,x3)=(x1,0,x3) é linear. Vamos usar a definição de transformação linear: precisa satisfazer aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Vamos verificar a aditividade. Sejam u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3). Então

Passo 3

T(u+v)=T((u1+v1,;u2+v2,;u3+v3))=(u1+v1,;0,;u3+v3)

Passo 4

Por outro lado,

Passo 5

T(u)+T(v)=(u1,0,u3)+(v1,0,v3)=(u1+v1,0,u3+v3)

Passo 6

Como ambos dão o mesmo resultado, temos T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 7

Agora checamos a homogeneidade. Seja cinR e u=(u1,u2,u3). Então

Passo 8

T(cu)=T((cu1,cu2,cu3))=(cu1,0,cu3)

Passo 9

e

Passo 10

c,T(u)=c,(u1,0,u3)=(cu1,0,cu3)

Passo 11

Portanto T(cu)=c,T(u).

Passo 12

Como satisfizemos simultaneamente aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade e, portanto, é linear.

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