Seja
a transformação que projeta cada vetor
sobre o plano
, de modo que
. Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação
dada por
é linear. Vamos usar a definição de transformação linear: precisa satisfazer aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Vamos verificar a aditividade. Sejam
e
. Então
Passo 3
Passo 4
Por outro lado,
Passo 5
Passo 6
Como ambos dão o mesmo resultado, temos
.
Passo 7
Agora checamos a homogeneidade. Seja
e
. Então
Passo 8
Passo 9
e
Passo 10
Passo 11
Portanto
.
Passo 12
Como satisfizemos simultaneamente aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.
Resposta
A transformação
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade e, portanto, é linear.