Em Z times Z estão definidas duas operações star e De<a da seguinte forma:
& (a, b) star(c, d)=(a+c, b+d) & (a, b) De<a(c, d)=(a c, a d+b c)
Verifique se De<a é distributiva em relação a star.

Passo 1

O enunciado define em ZtimesZ as operações
(a,b)star(c,d)=(a+c,;b+d),
(a,b)De<a(c,d)=(a,c,;a,d+b,c)
O que queremos é verificar se De<a é distributiva em relação a star, ou seja, se vale
  1. Left-distribuição:
(x)De<al(ystar zr) = l(xDe<a yr)starl(xDe<a zr),
  1. Right-distribuição:
l(xstar yr)De<a z = l(xDe<a zr)starl(yDe<a zr)

Passo 2

Verificando a left-distribuição para x=(a,b), y=(c,d), z=(e,f):
(c,d)star(e,f)=(c+e,;d+f),
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(a,b)De<al((c,d)star(e,f)r) =(a,b)De<a(c+e,;d+f) =l(a(c+e),;a(d+f)+b(c+e)r)
Expandindo os termos temos
l(a(c+e),;a(d+f)+b(c+e)r) =(ac+ae,;ad+af+bc+be)

Passo 3

Agora computamos os dois termos do lado direito:
(a,b)De<a(c,d)=(ac,;ad+bc), (a,b)De<a(e,f)=(ae,;af+be),
e então
(ac,;ad+bc)star(ae,;af+be) =(ac+ae,;(ad+bc)+(af+be)) =(ac+ae,;ad+af+bc+be)
Como coincide com o resultado do passo anterior, concluímos que a left-distribuição vale.

Passo 4

Verificando a right-distribuição para os mesmos x,y,z:
(a,b)star(c,d)=(a+c,;b+d),
então
l((a,b)star(c,d)r)De<a(e,f) =(a+c,;b+d)De<a(e,f) =l((a+c)e,;(a+c)f+(b+d)er) =(ae+ce,;af+cf+be+de)
Por outro lado,
(a,b)De<a(e,f)=(ae,;af+be), (c,d)De<a(e,f)=(ce,;cf+de),
e
(ae,;af+be)star(ce,;cf+de) =(ae+ce,;(af+be)+(cf+de)) =(ae+ce,;af+cf+be+de),
que coincide com o lado esquerdo. Logo a right-distribuição também vale.

Resposta

De<a é distributiva em relação a star (tanto à esquerda quanto à direita).

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