ii) (5 pontos) Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
b) \int\left(1+3 \operatorname{sen} \theta-5 \operatorname{sec} ^{2} \theta\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(1+3\,\operatorname{sen}\theta-5\,\operatorname{sec}^2\theta\bigr)\,d\theta
Usaremos integrais elementares, a propriedade de linearidade da integral e o fato de que
a derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^2\theta e a derivada de \cos\theta é -\operatorname{sen}\theta.

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral, escrevemos
\int\bigl(1+3\,\operatorname{sen}\theta-5\,\operatorname{sec}^2\theta\bigr)\,d\theta =\int 1\,d\theta +3\int \operatorname{sen}\theta\,d\theta -5\int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.

Passo 3

Calculamos cada uma das integrais básicas:
  1. \displaystyle \int 1\,d\theta = \theta.
  2. \displaystyle \int \operatorname{sen}\theta\,d\theta = -\cos\theta, pois \frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\operatorname{sen}\theta.
    Logo, 3\int\operatorname{sen}\theta\,d\theta = -3\cos\theta.
  3. \displaystyle \int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = \tan\theta, pois \frac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^2\theta.
    Logo, -5\int\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = -5\tan\theta.

Passo 4

Somando os resultados e agrupando constantes de integração em uma só C, obtemos
\theta \;-\;3\cos\theta\;-\;5\tan\theta \;+\;C.

Resposta

\int\bigl(1+3\,\operatorname{sen}\theta-5\,\operatorname{sec}^2\theta\bigr)\,d\theta =\theta-3\cos\theta-5\tan\theta+C.

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