Nas questões 1), 2), 3) e 4), abaixo, \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{i k x} é a série de Fourier de uma função 2 \pi-periódica (e complexa) f=f(x)(-\pi \leq x \leq \pi).
Para a função f:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{C}, dada por
vale a igualdade \sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}\right|^{2}=\frac{1}{2 \pi}.
( ) V ( ) F
Passo 1
O enunciado define a função f\colon[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}\) dada por
\[f(t)= \begin{cases} 0,&t=\pm\pi,\\\ e^{i\omega t},&-\pi<t<\pi, \end{cases}
que é estendida periodicamente de período 2\pi\]. Queremos verificar se vale
\[\sum_{k\in\mathbb{Z}}\lvert c_k\rvert^2 \;=\;\frac1{2\pi},\]
onde \(c_k são os coeficientes de Fourier complexos de f.
Passo 2
Para qualquer função 2\pi-periódica de quadrado-integrável vale o Teorema de Parseval, que diz