Nas questões 1), 2), 3) e 4), abaixo, \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{i k x} é a série de Fourier de uma função 2 \pi-periódica (e complexa) f=f(x)(-\pi \leq x \leq \pi).
Para a função f:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{C}, dada por
f(t)=\left\{\begin{array}{c} 0, t= \pm \pi \\\ e^{i \omega t},-\pi<t<\pi(\omega \in \mathbb{R}) \end{array}\right.
vale a igualdade \sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}\right|^{2}=\frac{1}{2 \pi}.
( ) V ( ) F

Passo 1

O enunciado define a função f\colon[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}\) dada por \[f(t)= \begin{cases} 0,&t=\pm\pi,\\\ e^{i\omega t},&-\pi<t<\pi, \end{cases}
que é estendida periodicamente de período 2\pi\]. Queremos verificar se vale \[\sum_{k\in\mathbb{Z}}\lvert c_k\rvert^2 \;=\;\frac1{2\pi},\] onde \(c_k são os coeficientes de Fourier complexos de f.

Passo 2

Para qualquer função 2\pi-periódica de quadrado-integrável vale o Teorema de Parseval, que diz
\sum_{k\in\mathbb{Z}}\lvert c_k\rvert^2 \;=\;\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl\lvert f(t)\bigr\rvert^2\,dt.
Assim, basta calcular o integrando \lvert f(t)\rvert^2.

Passo 3

No intervalo -\pi<t<\pi temos f(t)=e^{i\omega t}, logo
\bigl\lvert f(t)\bigr\rvert^2 = \lvert e^{i\omega t}\rvert^2 = 1.
Os pontos t=\pm\pi não afetam a integral (são de medida zero). Então
\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(t)\rvert^2\,dt = \int_{-\pi}^{\pi}1\,dt = 2\pi.
Substituindo em Parseval,
\sum_{k\in\mathbb{Z}}\lvert c_k\rvert^2 = \frac1{2\pi}\cdot(2\pi) = 1.

Passo 4

O valor correto de \sum_{k\in\mathbb{Z}}\lvert c_k\rvert^2 é 1, não \tfrac1{2\pi}. Portanto a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

F

Exercícios relacionados