( 3,5 pontos) Considere o sistema
\mathbf{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right) \mathbf{y}
Note que a matriz tem um autovalor real repetido.
(a) (2,0 pts) Ache o polinômio característico e determine os autovalores (mostre multiplicidades algébrica e gcométrica).
(b) (1,5 \mathrm{pts}) Se necessário, encontre um vetor generalizado e escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\mathbf{y}' = A\,\mathbf{y},\quad A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
e pede: (a) o polinômio característico e os autovalores com multiplicidades algébrica e geométrica; (b) vetor generalizado (se necessário) e solução geral. Vamos usar teoria de autovalores em sistemas lineares e, no caso de autovalor repetido com falta de vetores próprios, construir um vetor generalizado para formar a solução de Jordan.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A pela fórmula
\chi(\lambda)=\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\\ -1 & -\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-\lambda)- (1)(-1).
Expandindo,
\chi(\lambda) = -2\lambda + \lambda^2 + 1 = \lambda^2 -2\lambda +1 = (\lambda -1)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para achar os autovetores resolvemos (A - I)\mathbf{v}=0:
A - I = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;v_1+v_2=0.
Assim os autovetores são da forma \mathbf{v}=t\,(1,\,-1)^T, t\neq0.
Como o espaço próprio é unidimensional, a multiplicidade geométrica é 1.

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), precisamos de um vetor generalizado \mathbf{w}\) tal que \[(A - I)\mathbf{w} = \mathbf{v},
onde podemos escolher \mathbf{v}=(1,-1)^T. Escrevendo
\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} w_1 + w_2 = 1,\\\\ -w_1 - w_2 = -1, \end{cases}
que é a mesma equação. Uma solução conveniente é \mathbf{w}=(0,1)^T\], pois \(0+1=1.

Passo 5

Para autovalor repetido com um único autovetor, a solução geral é
\mathbf{y}(t) = C_1 e^{\lambda t}\,\mathbf{v} + C_2 e^{\lambda t}\bigl(t\,\mathbf{v} + \mathbf{w}\bigr),
onde \lambda=1, \mathbf{v}=(1,-1)^T e \mathbf{w}=(0,1)^T. Portanto
\mathbf{y}(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} + C_2 e^{t}\Bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr).

Resposta

(a) \chi(\lambda)=(\lambda-1)^2. O único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.
(b) Um vetor generalizado é \mathbf{w}=(0,1)^T. A solução geral é
\mathbf{y}(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} + C_2 e^{t}\Bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr).

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