Note que a matriz tem um autovalor real repetido.
(a) (2,0 pts) Ache o polinômio característico e determine os autovalores (mostre multiplicidades algébrica e gcométrica).
(b) (1,5 \mathrm{pts}) Se necessário, encontre um vetor generalizado e escreva a solução geral do sistema.
e pede: (a) o polinômio característico e os autovalores com multiplicidades algébrica e geométrica; (b) vetor generalizado (se necessário) e solução geral. Vamos usar teoria de autovalores em sistemas lineares e, no caso de autovalor repetido com falta de vetores próprios, construir um vetor generalizado para formar a solução de Jordan.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de A pela fórmula
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Para achar os autovetores resolvemos (A - I)\mathbf{v}=0:
A - I = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;v_1+v_2=0.
Assim os autovetores são da forma \mathbf{v}=t\,(1,\,-1)^T, t\neq0.
Como o espaço próprio é unidimensional, a multiplicidade geométrica é 1.
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), precisamos de um vetor generalizado \mathbf{w}\) tal que
\[(A - I)\mathbf{w} = \mathbf{v},
onde podemos escolher \mathbf{v}=(1,-1)^T. Escrevendo
(a) \chi(\lambda)=(\lambda-1)^2. O único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.
(b) Um vetor generalizado é \mathbf{w}=(0,1)^T. A solução geral é