1. Extraia do conjunto S=(1,-2,5),(4,-2,7),(3,0,2),(5,2,-1) subset R^3 um subconjunto LI com número máximo de vetores.

Passo 1

O enunciado pede extrair de
S = (1,-2,5),,(4,-2,7),,(3,0,2),,(5,2,-1)subset R^3
um subconjunto linearmente independente (LI) com o maior número de vetores possível. Em R^3 a dimensão máxima é 3, então tentamos primeiro achar três vetores LI; se isso não for possível, sobram apenas dois.

Passo 2

Para ver se há três vetores LI, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são quaisquer três vetores de S. Por exemplo, para
(1,-2,5), (4,-2,7) e (3,0,2):
det 1 & 4 & 3 -2 & -2 & 0 5 & 7 & 2 =1cdot(-2cdot2-0cdot7);-;4cdot(-2cdot2-0cdot5);+;3cdot(-2cdot7-(-2)cdot5)
=1cdot(-4);-;4cdot(-4);+;3cdot(-14+10) =-4+16+3cdot(-4)=0
Fazendo o mesmo para qualquer outro trio de vetores de S, o determinante também dá zero. Concluímos que não existem três vetores LI em S.

Passo 3

Como a maior quantidade de vetores LI em S é 2, basta escolher dois que não sejam colineares. Tomemos, por exemplo,
(1,-2,5) e (4,-2,7).
Eles não são múltiplos um do outro, pois
41=4 neq -2-2=1,
logo são LI.

Resposta

(1,-2,5),,(4,-2,7)

Exercícios relacionados