Quais dos seguintes subconjuntos de vetores em \mathbb{P}_{2} são linearmente dependentes?
p_{1}(x)=2+x-4 x^{2}, p_{2}(x)=3-6 x-2 x^{2}, p_{3}(x)=2-10 x-4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar dependência linear entre os polinômios
p_{1}(x)=2 + x - 4x^{2},\quad p_{2}(x)=3 - 6x - 2x^{2},\quad p_{3}(x)=2 - 10x - 4x^{2}
no espaço \mathbb{P}_{2}. Para isso, vamos traduzir cada p_{i} em seu vetor de coeficientes na base \{1,x,x^{2}\} e testar se existem escalares não nulos que façam combinação linear zero.

Passo 2

Associando coeficientes em \{1,x,x^{2}\}, temos
p_{1}\mapsto (2,\,1,\,-4),\quad p_{2}\mapsto (3,\,-6,\,-2),\quad p_{3}\mapsto (2,\,-10,\,-4).
Queremos ver se existem \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tais que
\alpha\,(2,1,-4)+\beta\,(3,-6,-2)+\gamma\,(2,-10,-4)=(0,0,0).

Passo 3

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 2\alpha+3\beta+2\gamma=0,\\\ \alpha-6\beta-10\gamma=0,\\\\ -4\alpha-2\beta-4\gamma=0. \end{cases}
Resolvendo, da segunda equação \alpha=6\beta+10\gamma. Substituindo nas outras, chega-se a \beta=0, daí \alpha=0 e \gamma=0.

Passo 4

Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, concluímos que \{p_{1},p_{2},p_{3}\} é um conjunto linearmente independente.

Passo 5

Em particular, nenhum par \{p_{i},p_{j}\} é dependente, pois não existe escalar não nulo que transforme um no outro (não são múltiplos entre si).

Resposta

Nenhum dos subconjuntos formados por \{p_{1},p_{2},p_{3}\} é linearmente dependente; todos são linearmente independentes.

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