Extremos em uma reta. Encontre os valores extremos locais de f(x, y)=x^{2} y na reta x+y=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores extremos locais de f(x,y)=x^{2}y sujeitos à reta x+y=3. Informações dadas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}y.
  • A restrição (a reta): x+y=3.
  • Pergunta: quais são os extremos locais de f quando (x,y) está sobre essa reta? (Quer-se os pontos (x,y) sobre a reta onde f tem mínimo/ máximo local e os respectivos valores de f.)

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): como a restrição é uma reta que permite resolver explicitamente uma variável em função da outra, o método mais simples é eliminar a restrição por substituição (isto é, escrever y em função de x e reduzir o problema a uma função de uma única variável). Esse método é mais direto aqui do que usar multiplicadores de Lagrange e exige cálculo básico de derivadas de uma função de uma variável — ideal para prova rápida.

Passo 3

Usar a restrição para expressar y em termos de x. Da reta x+y=3 temos
y=3-x.
Substituindo em f obtemos uma função de uma variável:
g(x)=f\bigl(x,3-x\bigr)=x^{2}(3-x)=3x^{2}-x^{3}.
Explicação curta: sobre a reta cada ponto é (x,3-x), então basta estudar g(x) para achar extremos na reta.

Passo 4

Encontrar pontos críticos de g(x) calculando g'(x) e igualando a zero. Calculemos a derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr)=6x-3x^{2}=3x(2-x).
Os pontos críticos são soluções de g'(x)=0, portanto
3x(2-x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Não há pontos onde g'(x) seja indefinida (é polinômio), então só esses dois.

Passo 5

Determinar as coordenadas (x,y) na reta correspondentes a cada x crítico e os valores de f nesses pontos. Usando y=3-x:
  • Para x=0: y=3-0=3. Ponto \bigl(0,3\bigr). Valor
f(0,3)=0^{2}\cdot 3=0.
  • Para x=2: y=3-2=1. Ponto \bigl(2,1\bigr). Valor
f(2,1)=2^{2}\cdot 1=4.

Passo 6

Classificar cada ponto usando o teste da segunda derivada para funções de uma variável. Calculemos g''(x):
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x-3x^{2}\bigr)=6-6x=6(1-x).
Avaliações:
  • Em x=0: g''(0)=6(1-0)=6>0. Concavidade para cima → g tem mínimo local em x=0. Assim f tem mínimo local em \bigl(0,3\bigr) com valor 0.
  • Em x=2: g''(2)=6(1-2)= -6<0. Concavidade para baixo → g tem máximo local em x=2. Assim f tem máximo local em \bigl(2,1\bigr) com valor 4.
Breve intuição: quando a segunda derivada é positiva a curva está “abrindo para cima” e o ponto é mínimo; quando é negativa a curva “abre para baixo” e o ponto é máximo.

Passo 7

Observação sobre extremos globais (opcional, mas útil para evitar confusão): como g(x)= -x^{3}+3x^{2} é um polinômio de grau 3 com termo dominante -x^{3}, tem comportamento g(x)\to -\infty quando x\to +\infty e g(x)\to +\infty quando x\to -\infty. Logo não existem mínimos ou máximos globais restritos à reta — apenas os extremos locais já encontrados.

Resposta

Mínimo local: \bigl(0,3\bigr) com f(0,3)=0
Máximo local: \bigl(2,1\bigr) com f(2,1)=4

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