Extremos em uma reta. Encontre os valores extremos locais de
na reta
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores extremos locais de
sujeitos à reta
. Informações dadas:
- A função:
. - A restrição (a reta):
. - Pergunta: quais são os extremos locais de
quando está sobre essa reta? (Quer-se os pontos sobre a reta onde tem mínimo/ máximo local e os respectivos valores de .)
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): como a restrição é uma reta que permite resolver explicitamente uma variável em função da outra, o método mais simples é eliminar a restrição por substituição (isto é, escrever
em função de
e reduzir o problema a uma função de uma única variável). Esse método é mais direto aqui do que usar multiplicadores de Lagrange e exige cálculo básico de derivadas de uma função de uma variável — ideal para prova rápida.
Passo 3
Usar a restrição para expressar
em termos de
. Da reta
temos
Substituindo em
obtemos uma função de uma variável:
Explicação curta: sobre a reta cada ponto é
, então basta estudar
para achar extremos na reta.
Passo 4
Encontrar pontos críticos de
calculando
e igualando a zero. Calculemos a derivada:
Os pontos críticos são soluções de
, portanto
Não há pontos onde
seja indefinida (é polinômio), então só esses dois.
Passo 5
Determinar as coordenadas
na reta correspondentes a cada
crítico e os valores de
nesses pontos. Usando
:
- Para
: . Ponto . Valor
- Para
: . Ponto . Valor
Passo 6
Classificar cada ponto usando o teste da segunda derivada para funções de uma variável. Calculemos
:
Avaliações:
- Em
: . Concavidade para cima → tem mínimo local em . Assim tem mínimo local em com valor . - Em
: . Concavidade para baixo → tem máximo local em . Assim tem máximo local em com valor .
Breve intuição: quando a segunda derivada é positiva a curva está “abrindo para cima” e o ponto é mínimo; quando é negativa a curva “abre para baixo” e o ponto é máximo.
Passo 7
Observação sobre extremos globais (opcional, mas útil para evitar confusão): como
é um polinômio de grau
com termo dominante
, tem comportamento
quando
e
quando
. Logo não existem mínimos ou máximos globais restritos à reta — apenas os extremos locais já encontrados.
Resposta
Mínimo local:
com
Máximo local: com
Máximo local: