Dos extremos de uma plataforma de comprimento L, apoiada sobre roletes sem atrito, um adulto e uma criança estão correndo um em direção ao outro. Determinar de quanto deslizará a plataforma, quando o adulto passar de um extremo ao outro da plataforma. Sabese que a velocidade do adulto é o dobro da velocidade da criança, as massas da plataforma, do adulto e da criança são m1, m2 e m3, respectivamente. [R: L2(2 m2-m3m1+m2+m3)]

Passo 1

O enunciado descreve uma plataforma de comprimento L, apoiada em roletes sem atrito (logo não há força horizontal externa), sobre a qual um adulto (massa m2) e uma criança (massa m3) correm um em direção ao outro. A velocidade do adulto em relação à plataforma é o dobro da da criança. Denotaremos a massa da plataforma por m1. Como não há força externa horizontal, o centro de massa do sistema permanece fixo. Nosso objetivo é achar o deslocamento De<a da plataforma quando o adulto, que parte de uma das extremidades, chega à outra.

Passo 2

Escolhemos o sentido positivo da direita e definimos:
x1(t);=;posição do centro da plataforma, x2(t);=;posição do adu<o, x3(t);=;posição da criança çãçãçãç
A velocidade do adulto relativa à plataforma é u2 (para a direita) e a da criança é u3 (para a esquerda), com
u2=2,u3
Em termos das velocidades absolutas:
dot x2-dot x1=u2, dot x1-dot x3=u3
Para o adulto ir de uma extremidade à outra da plataforma, sua coordenada relativa x2-x1 deve mudar de -tfracL2 para +tfracL2, ou seja, um total de L. Como dot x2-dot x1=u2 é constante, o tempo necessário é
t=Lu2=L2,u3

Passo 3

Fixamos a origem de modo que inicialmente o centro da plataforma esteja em x1(0)=0, a extremidade esquerda em -tfracL2 (onde está o adulto) e a direita em +tfracL2 (onde está a criança). Logo
x2(0)=-tfracL2, x3(0)=+tfracL2
Durante o intervalo t, a plataforma desloca-se De<a, então
x1(t)=De<a, x2(t)=x1(t)+tfracL2=De<a+tfracL2,
e da segunda relação
x3(t)=x3(0)+l[x1(t)-x1(0)r]-u3,t =tfracL2+De<a - u3,L2u3 =De<a

Passo 4

A ausência de forças externas implica conservação da posição do centro de massa:
Xrm cm=m1x1+m2x2+m3x3m1+m2+m3 =constante
Inicialmente,
Xrm cm(0) =m1cdot0 + m2l(-tfracL2r)+m3l(+tfracL2r)m1+m2+m3 =(m3-m2),tfracL2m1+m2+m3
No instante final,
Xrm cm(t) =m1,De<a +m2l(De<a+tfracL2r)+m3,De<a m1+m2+m3 =De<a + m2,tfracL2m1+m2+m3
Igualando Xrm cm(t)=Xrm cm(0) e resolvendo para De<a, obtemos
De<a =tfracL2(m3-m2) - tfracL2m2m1+m2+m3 =tfracL2(m3-2m2)m1+m2+m3 =L2,2m2-m3m1+m2+m3

Resposta

De<a =L2,2m2-m3m1+m2+m3

Exercícios relacionados