1^a Questão: Calcu<= as seguintes integrais: ã
(f) integral x^2(4-x^2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2,(4 - x^2)^3,dx
O conteúdo envolvido é integração de polinômios; para resolver, vamos usar o binômio de Newton para expandir (4 - x^2)^3 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicando a fórmula do binômio de Newton em (4 - x^2)^3, obtemos
(4 - x^2)^3 = sumk=0^3 binom3k4^,3-k(-x^2)^k = 64 ;-;48x^2;+;12x^4;-;x^6
Multiplicando por x^2, a integranda vira
x^2(4 - x^2)^3 = 64x^2 ;-;48x^4;+;12x^6;-;x^8

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
integral 64x^2,dx = 64cdotx^33 = 643x^3,
integral (-48x^4),dx = -48cdotx^55 = -485x^5,
integral 12x^6,dx = 12cdotx^77 = 127x^7,
integral (-x^8),dx = -x^99

Passo 4

Somando todos os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral x^2(4 - x^2)^3,dx = 643x^3 - 485x^5 + 127x^7 - 19x^9 + C

Resposta

boxed643x^3 - 485x^5 + 127x^7 - 19x^9 + C

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