Resolva a EDO abaixo
y+2 y^prime=-t

Passo 1

O enunciado manda resolver a EDO
y + 2y' = -t
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante pra resolver.

Passo 2

Primeiro, a gente coloca a equação no formato padrão y’ + P(t)y = Q(t). Dividindo tudo por 2, fica:
y' + tfrac12 y = -tfrac t2
Aqui P(t)=\tfrac12 e Q(t)=-\tfrac t2.

Passo 3

Calcula o fator integrante mu(t) = e^∫P(t),dt = e^∫tfrac12,dt = e^t/2.

Passo 4

Multiplica toda a equação por mu(t). O lado esquerdo vira a derivada de e^t/2y. Assim:
ddtl(e^t/2yr) = -tfrac t2 ,e^t/2

Passo 5

Agora integra os dois lados em relação a t. Do lado direito precisamos calcular
integral -tfrac t2 e^t/2,dt
Fazendo integração por partes (com u=t e dv=e^{t/2}dt) dá:
integral t e^t/2,dt = 2t e^t/2 - 4e^t/2 + C1
e multiplicando por -\tfrac12:
integral -tfrac t2 e^t/2,dt = -t e^t/2 + 2e^t/2 + C

Passo 6

Então a igualdade integrada fica:
e^t/2y = -t e^t/2 + 2e^t/2 + C
Por fim, isola y dividindo por e^t/2.

Resposta

y(t) = 2 - t + C e^-t/2

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