Se
tem derivadas parciais de
ordem contínuas em
, mostre que
com
, o vetor normal unitário exterior à fronteira
.
Passo 1
Temos f: D\subseteqℝ²→ℝ² com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O objetivo é provar que ∬_D ∂f/∂x dx dy = ∮_{∂D} f n₁ ds. Vamos usar o Teorema de Green no plano e interpretar geometricamente n₁ ds.
Passo 2
Escrevemos f em componentes: f=(f₁,f₂). Então ∬_D ∂f/∂x dx dy é o vetor cujas componentes são ∬_D ∂f₁/∂x dA e ∬_D ∂f₂/∂x dA.
Passo 3
Parametrizamos ∂D de forma positiva (anti‐horária) por r(t)=(x(t),y(t)), t∈[a,b]. O vetor tangente T=r’/|r’| e o normal exterior unitário é n=(y’,-x’)/|r’|. Logo
n₁ ds = (y’/|r’|)(|r’| dt) = y’ dt e n₂ ds = -x’ dt.
n₁ ds = (y’/|r’|)(|r’| dt) = y’ dt e n₂ ds = -x’ dt.
Passo 4
Assim, para cada i=1,2 temos
Passo 5
Pelo Teorema de Green com P=0 e Q=f_i
Passo 6
Comparando, obtemos para i=1,2
Passo 7
Reagrupando as componentes, concluímos
Resposta
A igualdade desejada está demonstrada: