Se f: D subseteq R^2 R^2 tem derivadas parciais de 1^ ² ² ordem contínuas em D, mostre que
integral duplaD partial fpartial x d x d y=ointpartial D f n1 d s
com n=n1 i+n2 j, o vetor normal unitário exterior à fronteira partial D.

Passo 1

Temos f: D\subseteqℝ²→ℝ² com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O objetivo é provar que ∬_D ∂f/∂x dx dy = ∮_{∂D} f n₁ ds. Vamos usar o Teorema de Green no plano e interpretar geometricamente n₁ ds.

Passo 2

Escrevemos f em componentes: f=(f₁,f₂). Então ∬_D ∂f/∂x dx dy é o vetor cujas componentes são ∬_D ∂f₁/∂x dA e ∬_D ∂f₂/∂x dA.

Passo 3

Parametrizamos ∂D de forma positiva (anti‐horária) por r(t)=(x(t),y(t)), t∈[a,b]. O vetor tangente T=r’/|r’| e o normal exterior unitário é n=(y’,-x’)/|r’|. Logo
n₁ ds = (y’/|r’|)(|r’| dt) = y’ dt e n₂ ds = -x’ dt.

Passo 4

Assim, para cada i=1,2 temos
oint∂D fi,n₁,ds = integrala^b fi(x(t),y(t)),y'(t),dt = integral∂D fi,dy

Passo 5

Pelo Teorema de Green com P=0 e Q=f_i
oint∂D 0,dx + fi,dy = integral duplaD partial fipartial x,dA

Passo 6

Comparando, obtemos para i=1,2
integral duplaD partial fipartial x,dA = oint∂D fi,n₁,ds

Passo 7

Reagrupando as componentes, concluímos
integral duplaD partial fpartial x,dx,dy = ointpartial D f,n₁,ds

Resposta

A igualdade desejada está demonstrada:
integral duplaD partial fpartial x,dx,dy = ointpartial D f,n1,ds

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