Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma função derivável e define
O que se pede: encontrar uma expressão para a derivada de
em função de
e de
. As informações relevantes são:
-
é derivável, logo existe para os considerados; - a função envolvida é uma razão entre
e ; - é preciso observar que a expressão não faz sentido em
(divisão por zero).
Passo 2
Escolha do método: é conveniente reescrever a função como um produto envolvendo uma potência de
. Escrever a função como produto permite usar a regra do produto, que é bem direta e básica. Reescrever:
Essa transformação é legítima porque
para
. Trabalhar com potências facilita aplicar a regra do poder para derivar
.
Passo 3
Lembrete das regras que vamos usar (com explicação do que cada símbolo significa):
- Regra do produto: se
e são deriváveis, então
onde
e
denotam as derivadas de
e
em relação a
.
- Regra da potência (caso inteiro real): para
com constante,
Aqui usaremos essa regra com
, então
Explicando em palavras: derivar
multiplica pela potência
e reduz o expoente em uma unidade, ficando
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto a
:
- tome
(portanto ); - tome
(portanto pelo passo anterior).
Pela regra do produto:
Esses são termos com potências de
. Podemos escrever explicitamente:
Passo 5
Agora fazemos a simplificação algébrica para expressar em uma única fração (passo a passo, para fazer na prova sem calculadora):
Subtraindo as frações com denominador comum
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Passo 6
Verificação com um exemplo concreto para ganhar confiança (e para usar na hora da prova, se quiser conferir):
Escolha . Então
. A função dada vira
, cuja derivada é
.
Aplicando a fórmula antes da simplificação:
Escolha
Aplicando a fórmula antes da simplificação:
o que confere com a derivada direta de
. Isso aumenta a confiança de que a simplificação algébrica está correta.
Passo 7
Observação final e cuidado prático: a expressão encontrada vale para
. No ponto
não podemos usar a fórmula porque a função original
não está definida (a menos que o enunciado especifique um limite ou extensão contínua).