Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
y=\frac{g(x)}{x}

Passo 1

O enunciado dá que g é uma função derivável e define
y=\frac{g(x)}{x}.
O que se pede: encontrar uma expressão para a derivada de y em função de g e de g'. As informações relevantes são:
  • g é derivável, logo g'(x) existe para os x considerados;
  • a função envolvida é uma razão entre g(x) e x;
  • é preciso observar que a expressão não faz sentido em x=0 (divisão por zero).

Passo 2

Escolha do método: é conveniente reescrever a função como um produto envolvendo uma potência de x. Escrever a função como produto permite usar a regra do produto, que é bem direta e básica. Reescrever:
y = g(x)\cdot x^{-1}.
Essa transformação é legítima porque x^{-1}=\dfrac{1}{x} para x\neq0. Trabalhar com potências facilita aplicar a regra do poder para derivar x^{-1}.

Passo 3

Lembrete das regras que vamos usar (com explicação do que cada símbolo significa):
  • Regra do produto: se f(x) e h(x) são deriváveis, então
(f\cdot h)' = f'\,h + f\,h',
onde f' e h' denotam as derivadas de f e h em relação a x.
  • Regra da potência (caso inteiro real): para x^n com n constante,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui usaremos essa regra com n=-1, então
\frac{d}{dx}x^{-1} = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
Explicando em palavras: derivar x^{-1} multiplica pela potência -1 e reduz o expoente em uma unidade, ficando -2.

Passo 4

Aplicando a regra do produto a y = g(x)\cdot x^{-1}:
  • tome f(x)=g(x) (portanto f'(x)=g'(x));
  • tome h(x)=x^{-1} (portanto h'(x)=-x^{-2} pelo passo anterior).
    Pela regra do produto:
y' = g'(x)\cdot x^{-1} + g(x)\cdot(-x^{-2}).
Esses são termos com potências de x. Podemos escrever explicitamente:
y' = g'(x)\,x^{-1} - g(x)\,x^{-2}.

Passo 5

Agora fazemos a simplificação algébrica para expressar em uma única fração (passo a passo, para fazer na prova sem calculadora):
g'(x)\,x^{-1} = \frac{g'(x)}{x}, \qquad g(x)\,x^{-2} = \frac{g(x)}{x^{2}}.
Subtraindo as frações com denominador comum x^{2}:
\frac{g'(x)}{x} - \frac{g(x)}{x^{2}} = \frac{g'(x)\,x}{x^{2}} - \frac{g(x)}{x^{2}}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{g'(x)\,x - g(x)}{x^{2}}.

Passo 6

Verificação com um exemplo concreto para ganhar confiança (e para usar na hora da prova, se quiser conferir):
Escolha g(x)=x^{2}. Então g'(x)=2x. A função dada vira y=\dfrac{x^{2}}{x}=x, cuja derivada é 1.
Aplicando a fórmula antes da simplificação:
y' = g'(x)\,x^{-1} - g(x)\,x^{-2} = 2x\cdot x^{-1} - x^{2}\cdot x^{-2} = 2 - 1 = 1,
o que confere com a derivada direta de y=x. Isso aumenta a confiança de que a simplificação algébrica está correta.

Passo 7

Observação final e cuidado prático: a expressão encontrada vale para x\neq0. No ponto x=0 não podemos usar a fórmula porque a função original \dfrac{g(x)}{x} não está definida (a menos que o enunciado especifique um limite ou extensão contínua).

Resposta

y'=\frac{x\,g'(x)-g(x)}{x^{2}}

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