O preço unitário P obtido por uma empresa ao produzir e vender Q ≥ 0 unidades é P(Q) = a - b * Q^2. O custo de produção e venda de Q unidades é C(Q) = alpha + beta Q. As constantes a, b, alfa e beta são todas positivas. Encontre o nível de produção que maximiza o lucro, dado por pi(Q) = Q * P(Q) - C(Q).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como uma empresa pode maximizar o lucro dela. A gente tem duas funções: uma que mostra o preço que a empresa vende cada unidade (P(Q)) e outra que mostra o custo para produzir essas unidades (C(Q)). O objetivo é encontrar quantas unidades (Q) a empresa deve produzir para ter o maior lucro possível. Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, que ajudam a encontrar pontos máximos ou mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função lucro, que é o quanto a empresa ganha depois de descontar os custos. A função lucro é dada por:
Substituindo as funções que a gente tem:
Ou seja:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto onde o lucro é máximo, precisamos derivar a função lucro em relação a Q e igualar a derivada a zero. A derivada nos mostra a taxa de variação do lucro quando a quantidade produzida muda. Se a derivada for zero, pode ser um ponto de máximo ou mínimo.
Derivando :

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para Q:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos a raiz negativa.

Passo 5

Por fim, precisamos ter certeza de que esse ponto é realmente um máximo. Para isso, podemos olhar a segunda derivada da função lucro:
Como é positivo e é positivo, é negativa, o que confirma que temos um ponto de máximo.

Resposta

O nível de produção que maximiza o lucro é:

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