f é contínua em [a,b] (portanto, é integrável em sentido de Riemann).
O que se quer provar é uma desigualdade envolvendo a integral de f e a integral do valor absoluto de f.
Passo 2
Lembrete útil (justificativa de uma propriedade usada):
Continuidade em [a,b] implica integrabilidade: se f é contínua em [a,b] então \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx existe (no sentido de Riemann). Aqui essa observação garante que todas as integrais que vamos escrever fazem sentido.
Passo 3
Uma propriedade elementar do valor absoluto (para números reais) é:
-|t| \le t \le |t| \quad\text{para todo } t\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: |t| é a distância de t até 0; portanto t nunca excede |t| nem fica abaixo de -|t|.
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo anterior ponto a ponto à função f, obtemos que para todo x\in[a,b]
-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|.
Isto é apenas a versão ponto-a-ponto da desigualdade do valor absoluto.
Passo 5
Agora usamos duas propriedades do integral (válidas porque f e |f| são integráveis):
Monotonicidade: se g(x)\le h(x) para todo x\in[a,b] e g,h são integráveis, então
\int_a^b g(x)\,dx \le \int_a^b h(x)\,dx.
Linearidade (em particular, \displaystyle\int_a^b -|f(x)|\,dx = -\int_a^b |f(x)|\,dx).
Integrando a desigualdade ponto a ponto do passo anterior e aplicando monotonicidade e linearidade obtemos