Se f é função contínua em [a, b], mostre que
\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x

Passo 1

O enunciado dá que f é função contínua em [a,b] e pede para mostrar a desigualdade
\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é contínua em [a,b] (portanto, é integrável em sentido de Riemann).
  • O que se quer provar é uma desigualdade envolvendo a integral de f e a integral do valor absoluto de f.

Passo 2

Lembrete útil (justificativa de uma propriedade usada):
  • Continuidade em [a,b] implica integrabilidade: se f é contínua em [a,b] então \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx existe (no sentido de Riemann). Aqui essa observação garante que todas as integrais que vamos escrever fazem sentido.

Passo 3

Uma propriedade elementar do valor absoluto (para números reais) é:
-|t| \le t \le |t| \quad\text{para todo } t\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: |t| é a distância de t até 0; portanto t nunca excede |t| nem fica abaixo de -|t|.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior ponto a ponto à função f, obtemos que para todo x\in[a,b]
-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|.
Isto é apenas a versão ponto-a-ponto da desigualdade do valor absoluto.

Passo 5

Agora usamos duas propriedades do integral (válidas porque f e |f| são integráveis):
  • Monotonicidade: se g(x)\le h(x) para todo x\in[a,b] e g,h são integráveis, então
\int_a^b g(x)\,dx \le \int_a^b h(x)\,dx.
  • Linearidade (em particular, \displaystyle\int_a^b -|f(x)|\,dx = -\int_a^b |f(x)|\,dx).
Integrando a desigualdade ponto a ponto do passo anterior e aplicando monotonicidade e linearidade obtemos
-\int_a^b |f(x)|\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b |f(x)|\,dx.

Passo 6

Se uma quantidade I satisfaz -M \le I \le M para algum M\ge 0, então |I|\le M. Aplicando isso com
I=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad M=\int_a^b |f(x)|\,dx,
conclui-se a desigualdade desejada (a conclusão é direta a partir do intervalo obtido no passo anterior).

Resposta

\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)|\,dx

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