Mostre que se f é função contínua em [-1,2], então
\int_{-1}^{2} f(x) d x+\int_{2}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{1} f(x) d x+\int_{1}^{-1} f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a função f contínua em [-1,2] e pede para mostrar que a soma das quatro integrais abaixo é zero:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx+\int_{2}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{1} f(x)\,dx+\int_{1}^{-1} f(x)\,dx=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é contínua em [-1,2] (logo integrável nesse intervalo).
  • Precisamos manipular as integrais indicadas e provar que a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Lembretes e propriedades que serão usados (explicados de forma simples):
  • Continuidade implica integrabilidade: se f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então a integral \int_a^b f(x)\,dx existe (Riemann). Isso garante que todas as integrais do enunciado estão bem definidas.
  • Trocar os limites inverte o sinal: para quaisquer a,b,
\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicação: a integral definida tem orientação do menor para o maior limite; inverter a orientação troca o sinal.
  • Aditividade por intervalo (regra de adição de integrais): para a\le b\le c,
\int_{a}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx.
Explicação: integrar de a até c é o mesmo que integrar de a até b e depois de b até c; isso vem da definição da soma de Riemann e da soma de áreas parciais.

Passo 3

Aplicar a propriedade de troca de limites aos integrandos com limites decrescentes:
\int_{2}^{0} f(x)\,dx = -\int_{0}^{2} f(x)\,dx, \qquad \int_{1}^{-1} f(x)\,dx = -\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.
Substituindo isso na soma original obtemos
S:=\int_{-1}^{2} f(x)\,dx -\int_{0}^{2} f(x)\,dx +\int_{0}^{1} f(x)\,dx -\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.

Passo 4

Particionar os intervalos em pedaços menores para facilitar cancelamentos. Use os pontos -1,0,1,2. Pela aditividade:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx,
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx,
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Para simplificar a escrita, chame
A := \int_{-1}^{0} f(x)\,dx,\qquad B := \int_{0}^{1} f(x)\,dx,\qquad C := \int_{1}^{2} f(x)\,dx.
Com essas notações as igualdades acima ficam claras.

Passo 5

Reescrevendo S em termos de A,B,C:
S = (A+B+C) - (B+C) + B - (A+B).
Agora simplifique passo a passo:
  • (A+B+C) - (B+C) = A.
  • Então S = A + B - (A+B).
  • A + B - (A+B) = 0.
Portanto a soma S é zero.

Resposta

0

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