Mostre que se
é função contínua em
, então
Passo 1
O enunciado dá a função
contínua em
e pede para mostrar que a soma das quatro integrais abaixo é zero:
Informações relevantes fornecidas:
-
é contínua em (logo integrável nesse intervalo). - Precisamos manipular as integrais indicadas e provar que a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Lembretes e propriedades que serão usados (explicados de forma simples):
- Continuidade implica integrabilidade: se
é contínua em um intervalo fechado , então a integral existe (Riemann). Isso garante que todas as integrais do enunciado estão bem definidas. - Trocar os limites inverte o sinal: para quaisquer
,
Explicação: a integral definida tem orientação do menor para o maior limite; inverter a orientação troca o sinal.
- Aditividade por intervalo (regra de adição de integrais): para
,
Explicação: integrar de
até
é o mesmo que integrar de
até
e depois de
até
; isso vem da definição da soma de Riemann e da soma de áreas parciais.
Passo 3
Aplicar a propriedade de troca de limites aos integrandos com limites decrescentes:
Substituindo isso na soma original obtemos
Passo 4
Particionar os intervalos em pedaços menores para facilitar cancelamentos. Use os pontos
. Pela aditividade:
Para simplificar a escrita, chame
Com essas notações as igualdades acima ficam claras.
Passo 5
Reescrevendo
em termos de
:
Agora simplifique passo a passo:
-
- Então
-
Portanto a soma
é zero.