Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função integranda é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Breve lembrete das ferramentas que vamos usar (sem pular etapas):
- A integral definida de uma função contínua
em é dada por
onde
é qualquer primitiva (antiderivada) de
, isto é,
. Esta é a forma prática de avaliar integrais definidas.
- A regra de potência para antiderivadas diz que, para
,
onde
é a constante de integração.
- A integral é linear: constantes podem sair da integral e a soma se integra termo a termo:
Aqui as variáveis são:
é a variável de integração,
e
são constantes numéricas,
são funções de
.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva
da função integranda termo a termo.
Para o primeiro termo
:
Expliquei: apliquei a regra de potência com
, então
, e multipliquei por
.
Para o segundo termo
:
Expliquei: usei regra de potência com
.
Para o terceiro termo
:
Pois a integral de uma constante
é
.
Somando as primitivas dos termos obtemos uma primitiva geral
Podemos escolher
ao avaliar a integral definida (cancela no cálculo
).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da integral definida:
Calcule
:
Calcule
:
Logo
Passo 5
Verificação rápida (cheque de consistência): derivando
obtemos
que é exatamente a função integranda. Então
é de fato uma primitiva correta, e o resultado está consistente. Bom trabalho — já era!