Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{0}^{3}\left(3 x^{2}-4 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\left(3x^{2}-4x+1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de \,0 até \,3.
  • A função integranda é \,3x^{2}-4x+1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Breve lembrete das ferramentas que vamos usar (sem pular etapas):
  • A integral definida de uma função contínua f em [a,b] é dada por
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
onde F é qualquer primitiva (antiderivada) de f, isto é, F'(x)=f(x). Esta é a forma prática de avaliar integrais definidas.
  • A regra de potência para antiderivadas diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • A integral é linear: constantes podem sair da integral e a soma se integra termo a termo:
\int \big(a\cdot g(x) + b\cdot h(x)\big)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Aqui as variáveis são: x é a variável de integração, a e b são constantes numéricas, g,h são funções de x.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva F(x) da função integranda termo a termo.
Para o primeiro termo \,3x^{2}:
\int 3x^{2}\,dx = 3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
Expliquei: apliquei a regra de potência com n=2, então \int x^{2}dx = x^{3}/3, e multipliquei por 3.
Para o segundo termo -4x:
\int -4x\,dx = -4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2}.
Expliquei: usei regra de potência com n=1.
Para o terceiro termo 1:
\int 1\,dx = x.
Pois a integral de uma constante c é cx.
Somando as primitivas dos termos obtemos uma primitiva geral
F(x)=x^{3}-2x^{2}+x + C.
Podemos escolher C=0 ao avaliar a integral definida (cancela no cálculo F(b)-F(a)).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integral definida:
\int_{0}^{3}\left(3x^{2}-4x+1\right)\,dx = F(3)-F(0).
Calcule F(3):
F(3)=3^{3}-2\cdot 3^{2}+3 = 27 - 2\cdot9 + 3 = 27 -18 +3 = 12.
Calcule F(0):
F(0)=0^{3}-2\cdot0^{2}+0 = 0.
Logo
\int_{0}^{3}\left(3x^{2}-4x+1\right)\,dx = 12-0 = 12.

Passo 5

Verificação rápida (cheque de consistência): derivando F(x)=x^{3}-2x^{2}+x obtemos
F'(x)=3x^{2}-4x+1,
que é exatamente a função integranda. Então F é de fato uma primitiva correta, e o resultado está consistente. Bom trabalho — já era!

Resposta

12

Exercícios relacionados