Mostre que se
é função contínua em
, então
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua em
e pede para mostrar que
Informações relevantes:
- Foi dada a continuidade de
em . Isso implica que é integrável em qualquer subintervalo de , portanto todas as integrais acima estão bem definidas. - As integrais envolvem trocas de limites (por exemplo
) e também integrais em sequências de intervalos que se sobrepõem (por exemplo e ). - O objetivo é provar que a soma dessas quatro integrais é igual a
.
Passo 2
Apresentar a propriedade da mudança de limites da integral (reversão de orientação) e explicar por que vale. Para qualquer função integrável
e quaisquer pontos
e
temos a regra
O que isso significa: trocar a posição dos limites inverte o sinal da integral. Intuição simples: a integral representa “área orientada” — se você andar do menor para o maior ponto soma-se a área positiva, se andar no sentido contrário soma-se a mesma área com sinal trocado. Exemplo concreto:
e
.
Passo 3
Apresentar a propriedade de aditividade da integral em intervalos contíguos e explicar. Se
e
é integrável em
, então
O que isso significa: a integral sobre o intervalo total é a soma das integrais sobre subintervalos que se juntam. Intuição: somar as áreas de pedaços consecutivos dá a área total. Exemplo:
.
Passo 4
Aplicar a regra da mudança de limites para reescrever as integrais que estão com limites “invertidos”:
Substituindo essas expressões na soma original obtemos
Passo 5
Usar a aditividade para combinar termos. Primeiro, como
, vale
Portanto os dois primeiros termos reescritos podem ser agrupados como
Passo 6
Expressar o terceiro e quarto termos de modo compatível. Pela aditividade em
com o ponto
no meio (isto é,
), tem-se
Isolando
obtemos
Portanto o par terceiro+quarto termos na soma original é exatamente
.
Passo 7
Juntando as identidades dos passos anteriores, a soma original fica
Assim, as parcelas se cancelam e o resultado final é zero.
Resposta
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