Mostre que se f é função contínua em [-3,4], então
\int_{3}^{-1} f(x) d x+\int_{4}^{3} f(x) d x+\int_{-3}^{4} f(x) d x+\int_{-1}^{-3} f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado dá que f é contínua em [-3,4] e pede para mostrar que
\int_{3}^{-1} f(x)\,dx+\int_{4}^{3} f(x)\,dx+\int_{-3}^{4} f(x)\,dx+\int_{-1}^{-3} f(x)\,dx=0.
Informações relevantes:
  • Foi dada a continuidade de f em [-3,4]. Isso implica que f é integrável em qualquer subintervalo de [-3,4], portanto todas as integrais acima estão bem definidas.
  • As integrais envolvem trocas de limites (por exemplo \int_{3}^{-1}) e também integrais em sequências de intervalos que se sobrepõem (por exemplo [-3,4] e [-3,-1]).
  • O objetivo é provar que a soma dessas quatro integrais é igual a 0.

Passo 2

Apresentar a propriedade da mudança de limites da integral (reversão de orientação) e explicar por que vale. Para qualquer função integrável f e quaisquer pontos a e b temos a regra
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx.
O que isso significa: trocar a posição dos limites inverte o sinal da integral. Intuição simples: a integral representa “área orientada” — se você andar do menor para o maior ponto soma-se a área positiva, se andar no sentido contrário soma-se a mesma área com sinal trocado. Exemplo concreto: \int_{0}^{1}1\,dx=1 e \int_{1}^{0}1\,dx=-1.

Passo 3

Apresentar a propriedade de aditividade da integral em intervalos contíguos e explicar. Se a\le b\le c e f é integrável em [a,c], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx.
O que isso significa: a integral sobre o intervalo total é a soma das integrais sobre subintervalos que se juntam. Intuição: somar as áreas de pedaços consecutivos dá a área total. Exemplo: \int_{0}^{2}1\,dx = \int_{0}^{1}1\,dx + \int_{1}^{2}1\,dx = 1+1=2.

Passo 4

Aplicar a regra da mudança de limites para reescrever as integrais que estão com limites “invertidos”:
\int_{3}^{-1} f(x)\,dx = -\int_{-1}^{3} f(x)\,dx, \qquad \int_{4}^{3} f(x)\,dx = -\int_{3}^{4} f(x)\,dx, \qquad \int_{-1}^{-3} f(x)\,dx = -\int_{-3}^{-1} f(x)\,dx.
Substituindo essas expressões na soma original obtemos
-\int_{-1}^{3} f(x)\,dx \;-\; \int_{3}^{4} f(x)\,dx \;+\; \int_{-3}^{4} f(x)\,dx \;-\; \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx.

Passo 5

Usar a aditividade para combinar termos. Primeiro, como -1 \le 3 \le 4, vale
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{4} f(x)\,dx = \int_{-1}^{4} f(x)\,dx.
Portanto os dois primeiros termos reescritos podem ser agrupados como
-\left(\int_{-1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{4} f(x)\,dx\right) = -\int_{-1}^{4} f(x)\,dx.

Passo 6

Expressar o terceiro e quarto termos de modo compatível. Pela aditividade em [-3,4] com o ponto -1 no meio (isto é, -3\le -1\le 4), tem-se
\int_{-3}^{4} f(x)\,dx = \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx + \int_{-1}^{4} f(x)\,dx.
Isolando \int_{-1}^{4} f(x)\,dx obtemos
\int_{-1}^{4} f(x)\,dx = \int_{-3}^{4} f(x)\,dx - \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx.
Portanto o par terceiro+quarto termos na soma original é exatamente \int_{-1}^{4} f(x)\,dx.

Passo 7

Juntando as identidades dos passos anteriores, a soma original fica
-\int_{-1}^{4} f(x)\,dx + \int_{-1}^{4} f(x)\,dx = 0.
Assim, as parcelas se cancelam e o resultado final é zero.

Resposta

0

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