Sejam
contínua em
.
parametrizada por
, onde
é compacto com fronteira de classe
por partes,
de classe
no aberto
, orientada segundo o vetor
.
Uma notação também usada para
é
.
Use a definição de integral de superfície de campo vetorial e o teorema da mudança de variáveis para integral dupla para justificar essa notação.
Uma notação também usada para
Use a definição de integral de superfície de campo vetorial e o teorema da mudança de variáveis para integral dupla para justificar essa notação.
Passo 1
Temos a superfície
parametrizada por
e o campo vetorial contínuo
. O enunciado pede para mostrar que a integral de fluxo
pode ser escrita de forma abreviada como
O conteúdo que vamos usar é a definição de integral de superfície de campo vetorial e o teorema de mudança de variáveis para integrais duplas.
Passo 2
Pela definição de integral de fluxo de um campo vetorial sobre superfície parametrizada, temos
Aqui
Passo 3
Vamos escrever o produto escalar usando determinante de
. Se
e
, então
E assim
Passo 4
Note que cada expressão
,
e
é o jacobiano de mudança de variáveis que transforma
em pares de coordenadas
,
e
, respectivamente. Pelo teorema de mudança de variáveis,
Passo 5
Substituindo essas relações na integral dupla em
, obtemos
Resposta
A integral de fluxo satisfaz
justificando a notação proposta.