Sejam F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) contínua em S.
S parametrizada por varphi(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),(u, v) in D, onde D é compacto com fronteira de classe C^1 por partes, varphi de classe C^1 no aberto U supset D, orientada segundo o vetor partial varphipartial u times partial varphipartial v.
Uma notação também usada para integral duplaS F cdot n d s é integral duplaS P d y d z+Q d z d x+R d x d y.
Use a definição de integral de superfície de campo vetorial e o teorema da mudança de variáveis para integral dupla para justificar essa notação.

Passo 1

Temos a superfície S parametrizada por varphi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) e o campo vetorial contínuo vec F=(P,Q,R). O enunciado pede para mostrar que a integral de fluxo
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS
pode ser escrita de forma abreviada como
integral duplaS P,dy,dz + Q,dz,dx + R,dx,dy
O conteúdo que vamos usar é a definição de integral de superfície de campo vetorial e o teorema de mudança de variáveis para integrais duplas.

Passo 2

Pela definição de integral de fluxo de um campo vetorial sobre superfície parametrizada, temos
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral duplaD vec Fl(varphi(u,v)r)cdotl(partialuvarphitimespartialvvarphir),du,dv
Aqui D é a região no plano (u,v) que gera S, e partialuvarphitimespartialvvarphi dá o vetor normal orientado com módulo igual à área elementar.

Passo 3

Vamos escrever o produto escalar usando determinante de 3times3. Se partialuvarphi=(xu,yu,zu) e partialvvarphi=(xv,yv,zv), então
partialuvarphitimespartialvvarphi = l(,yu zv - zu yv,,;zu xv - xu zv,,;xu yv - yu xvr)
E assim
vec Fcdot(partialuvarphitimespartialvvarphi)=P(yu zv - zu yv)+Q(zu xv - xu zv)+R(xu yv - yu xv)

Passo 4

Note que cada expressão yu zv - zu yv, zu xv - xu zv e xu yv - yu xv é o jacobiano de mudança de variáveis que transforma (u,v) em pares de coordenadas (y,z), (z,x) e (x,y), respectivamente. Pelo teorema de mudança de variáveis,
(yu zv - zu yv),du,dv = dy,dz,
(zu xv - xu zv),du,dv = dz,dx,
(xu yv - yu xv),du,dv = dx,dy

Passo 5

Substituindo essas relações na integral dupla em (u,v), obtemos
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral duplaD l[P,(yu zv - zu yv)+Q,(zu xv - xu zv)+R,(xu yv - yu xv)r]du,dv
= integral duplaD l[P,dy,dz + Q,dz,dx + R,dx,dyr] = integral duplaS P,dy,dz + Q,dz,dx + R,dx,dy

Resposta

A integral de fluxo satisfaz
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral duplaS P,dy,dz + Q,dz,dx + R,dx,dy,
justificando a notação proposta.

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