Se mu1 e mu2 são medidas sigma-finitas, mostre que a medida produto mu1 times mu2 também é sigma-finita.

Passo 1

Estamos diante da definição de σ-finitude aplicada a medidas de produto. O enunciado pede para mostrar que, se μ₁ e μ₂ são σ-finitas em X e Y, então μ₁×μ₂ é σ-finita em X×Y. Vamos precisar usar a definição de σ-finitude e a propriedade de que, para retângulos medíveis, (μ₁×μ₂)(A×B)=μ₁(A)·μ₂(B).

Passo 2

Pela σ-finitude de μ₁, existe uma sequência de conjuntos mensuráveis (Aₙ) em X tal que X=⋃ₙAₙ e μ₁(Aₙ)<∞ para todo n. De modo análogo, como μ₂ é σ-finita, existe sequência (Bₘ) em Y com Y=⋃ₘBₘ e μ₂(Bₘ)<∞ para todo m.

Passo 3

Considere agora a família de retângulos mensuráveis C_{n,m}=Aₙ×Bₘ. Note que cada C_{n,m} satisfaz
(μ₁×μ₂)(Cn,m)=μ₁(Aₙ)·μ₂(Bₘ)<∞,
e que
⋃n,mCn,m=(⋃ₙAₙ)×(⋃ₘBₘ)=X×Y

Passo 4

Como a coleção {C_{n,m} : n,m∈ℕ} é numerável (produto de dois conjuntos numeráveis) e cada C_{n,m} tem medida finita, isso mostra exatamente que μ₁×μ₂ é σ-finita.

Resposta

Portanto, μ₁×μ₂ é σ-finita.

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