Se
e
são medidas
-finitas, mostre que a medida produto
também é
-finita.
Passo 1
Estamos diante da definição de σ-finitude aplicada a medidas de produto. O enunciado pede para mostrar que, se μ₁ e μ₂ são σ-finitas em X e Y, então μ₁×μ₂ é σ-finita em X×Y. Vamos precisar usar a definição de σ-finitude e a propriedade de que, para retângulos medíveis, (μ₁×μ₂)(A×B)=μ₁(A)·μ₂(B).
Passo 2
Pela σ-finitude de μ₁, existe uma sequência de conjuntos mensuráveis (Aₙ) em X tal que X=⋃ₙAₙ e μ₁(Aₙ)<∞ para todo n. De modo análogo, como μ₂ é σ-finita, existe sequência (Bₘ) em Y com Y=⋃ₘBₘ e μ₂(Bₘ)<∞ para todo m.
Passo 3
Considere agora a família de retângulos mensuráveis C_{n,m}=Aₙ×Bₘ. Note que cada C_{n,m} satisfaz
e que
Passo 4
Como a coleção {C_{n,m} : n,m∈ℕ} é numerável (produto de dois conjuntos numeráveis) e cada C_{n,m} tem medida finita, isso mostra exatamente que μ₁×μ₂ é σ-finita.
Resposta
Portanto, μ₁×μ₂ é σ-finita.