Se
, mostre que
, onde
é uma sequência de subconjuntos
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, dado um conjunto de pares ordenados em ,(\Omega_{1}\times\Omega_{2}) e uma sequência de subconjuntos ,(E_{n}), a seção em x da união desses conjuntos coincide com a união das seções em x de cada E_{n}. Vamos usar a definição de seção e propriedades de união.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de seção em x de um conjunto E:\n$
Para provar a igualdade de conjuntos, vamos mostrar as duas inclusões: ,(\subset) e ,(\supset).
Para provar a igualdade de conjuntos, vamos mostrar as duas inclusões: ,(\subset) e ,(\supset).
Passo 3
(\subset) Seja ,y\in(\cup_{n}E_{n}){x}. Então por definição ,(x,y)\in\cup{n}E_{n}. Isso significa que existe algum índice k tal que ,(x,y)\in E_{k}. Pela definição de seção, ,y\in(E_{k}){x}. Logo ,y\in\cup{n}(E_{n})_{x}.
Passo 4
(\supset) Agora seja ,y\in\cup_{n}(E_{n}){x}. Então existe um índice k com ,y\in(E{k}){x}, o que implica ,(x,y)\in E{k}. Assim ,(x,y)\in\cup_{n}E_{n} e, pela definição de seção, ,y\in(\cup_{n}E_{n})_{x}.
Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que os conjuntos são iguais.
Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que os conjuntos são iguais.
Resposta
(\cup_{n}E_{n}){x}=\cup{n}(E_{n})_{x}