Se E, F subset Omega1 times Omega2 e x in Omega1, mostre que
Omega1 times Omega2, onde é uma sequência de subconjuntos .

Passo 1

O problema pede para mostrar que, dado um conjunto de pares ordenados em ,(\Omega_{1}\times\Omega_{2}) e uma sequência de subconjuntos ,(E_{n}), a seção em x da união desses conjuntos coincide com a união das seções em x de cada E_{n}. Vamos usar a definição de seção e propriedades de união.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de seção em x de um conjunto E:\n$ Ex=yinOmega2 mid (x,y)in E
Para provar a igualdade de conjuntos, vamos mostrar as duas inclusões: ,(\subset) e ,(\supset).

Passo 3

(\subset) Seja ,y\in(\cup_{n}E_{n}){x}. Então por definição ,(x,y)\in\cup{n}E_{n}. Isso significa que existe algum índice k tal que ,(x,y)\in E_{k}. Pela definição de seção, ,y\in(E_{k}){x}. Logo ,y\in\cup{n}(E_{n})_{x}.

Passo 4

(\supset) Agora seja ,y\in\cup_{n}(E_{n}){x}. Então existe um índice k com ,y\in(E{k}){x}, o que implica ,(x,y)\in E{k}. Assim ,(x,y)\in\cup_{n}E_{n} e, pela definição de seção, ,y\in(\cup_{n}E_{n})_{x}.
Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que os conjuntos são iguais.

Resposta

(\cup_{n}E_{n}){x}=\cup{n}(E_{n})_{x}

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