Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a σ-álgebra de Borel em
, gerada pela topologia produto, coincide com a σ-álgebra produto das σ-álgebras de Borel em cada cópia de
. Vamos usar que projeções são contínuas, que retângulos formam geradores e que a topologia produto tem base de retângulos abertos com extremos racionais.
Passo 2
Definimos a σ-álgebra produto como
. Cada projeção
é contínua, então
é Borel em
. Mas
, logo todo retângulo de conjuntos borelianos está em
. Como
é a menor σ-álgebra que contém esses retângulos, segue que
Passo 3
Para a inclusão inversa, note que a topologia produto em
tem base formada por retângulos abertos
com
aberto em
. Escolhendo
com
temos uma base enumerável. Cada tal retângulo aberto pertence a
(pois intervalos com extremos racionais são borelianos) e, como essa σ-álgebra é fechada sob uniões contáveis, todo aberto de
está em
.
Como , concluímos que
Como
Resposta
Portanto