Mostre que B^R^d=otimesi=1^d B^R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a σ-álgebra de Borel em R^d, gerada pela topologia produto, coincide com a σ-álgebra produto das σ-álgebras de Borel em cada cópia de R. Vamos usar que projeções são contínuas, que retângulos formam geradores e que a topologia produto tem base de retângulos abertos com extremos racionais.

Passo 2

Definimos a σ-álgebra produto como otimesi=1^dB^R=sigmallang<= A1timescdotstimes Ad:,AiinB^Rrrang<=. Cada projeção pii:R^dtoR é contínua, então pii^-1(Ai) é Borel em R^d. Mas A1timescdotstimes Ad=capi=1^dpii^-1(Ai), logo todo retângulo de conjuntos borelianos está em B^R^d. Como otimesi=1^dB^R é a menor σ-álgebra que contém esses retângulos, segue que
otimesi=1^dB^RsubseteqB^R^d

Passo 3

Para a inclusão inversa, note que a topologia produto em R^d tem base formada por retângulos abertos U1timescdotstimes Ud com Ui aberto em R. Escolhendo Ui=(ai,bi) com ai,biinQ temos uma base enumerável. Cada tal retângulo aberto pertence a otimesi=1^dB^R (pois intervalos com extremos racionais são borelianos) e, como essa σ-álgebra é fechada sob uniões contáveis, todo aberto de R^d está em otimesi=1^dB^R.
Como B^R^d=sigmalang<=abertosrang<=, concluímos que
B^R^dsubseteqotimesi=1^dB^R

Resposta

Portanto
B^R^d=otimesi=1^dB^R

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