Se F(t)=t i+j+e^t k e G(t)=i+j+k. Calcule:
integral(F(t)+t G(t)) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais, e . O objetivo aqui é calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar usar integrais de funções vetoriais, que envolvem integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos somar F(t) + t G(t) = ( t i + j + e^t k ) + t ( i + j + k ) e . Isso significa que vamos multiplicar por e depois somar a .

Passo 3

Agora, vamos distribuir o F(t) + t G(t) = t i + j + e^t k + t i + t j + t k dentro do :

Passo 4

Em seguida, vamos juntar os termos semelhantes para simplificar a expressão:
F(t) + t G(t) = (t + t) i + (j + t j) + (e^t k + t k)
F(t) + t G(t) = 2t i + (1 + t) j + (e^t + t) k

Passo 5

Agora que temos a expressão simplificada, vamos calcular a integral de cada componente separadamente. A integral de um vetor é igual à integral de cada uma das suas componentes.
integral (F(t) + t G(t)) , dt = integral 2t , dt , i + integral (1 + t) , dt , j + integral (e^t + t) , dt , k

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. Para integral 2t , dt = t^2 + C1 :
integral (1 + t) , dt = t + 12t^2 + C2
  1. Para integral (e^t + t) , dt = e^t + 12t^2 + C3 :
  1. Para :
Onde são constantes de integração. No caso de integrais vetoriais, podemos combinar essas constantes em um único vetor constante .

Resposta

Portanto, a integral de integral (F(t) + t G(t)) , dt = t^2 i + ( t + 12 t^2 ) j + ( e^t + 12 t^2 ) k + C em relação a é:
Onde é um vetor constante de integração.

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