Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t^2 e^t cos (t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^2 e^tcos t. Vamos usar duas propriedades: o deslocamento em s para o fator e^t e a derivação em s para o fator t^2.

Passo 2

Primeiro, calculamos F0(s)=Le^tcos t(s) usando o deslocamento smapsto s-1 a partir de Lcos t(s)=dfracss^2+1. Assim temos
F0(s)=s-1(s-1)^2+1

Passo 3

Em seguida aplicamos a propriedade de derivação em s:
Lt^2 f(t)(s)=(-1)^2d^2ds^2l[F(s)r]=d^2ds^2l[F0(s)r]

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de F0(s). Definindo u=s-1, temos
F0(s)=uu^2+1,
e então
ddsF0(s)=1-u^2(u^2+1)^2,
d^2ds^2F0(s)=2,u,u^2-3(u^2+1)^3

Passo 5

Por fim, voltamos a u=s-1 e escrevemos em termos de s. Como u^2+1=(s-1)^2+1=s^2-2s+2 e 2u(u^2-3)=2(s-1)[(s-1)^2-3], chegamos ao resultado:

Resposta

Lt^2 e^tcos t(s)=2(s-1)l((s-1)^2-3r)l((s-1)^2+1r)^3 = 2s^3-6s^2+4(s^2-2s+2)^3

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