Se f(x) + x^2 * [f(x)]^3 = 10 e f(3)=2, encontre f'(3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá me dizendo é que a função satisfaz a equação , e que quando , . A gente precisa encontrar a derivada de em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que é quando a função não está isolada e a gente precisa derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de uma constante, como 10, é zero.
A derivada de em relação a é .
Agora, para derivar , usamos a regra do produto:
A derivada de é , e para usamos a regra da cadeia:
Então, colocando tudo junto:

Passo 3

Agora juntamos as derivadas:
Nosso objetivo é isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :
Fatorando do lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 4

Agora que temos a expressão para , vamos substituir e :
Calculando passo a passo:
Então:

Resposta

O valor de é .

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