Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função arco cosseno, representada por
, pode ser escrita de outra forma usando logaritmos e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções inversas e relações entre funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função inversa do cosseno. Isso significa que se
, então
. Nosso objetivo é expressar
em termos de logaritmos.
Passo 3
Sabemos que a função cosseno pode ser expressa usando a fórmula de Euler:
Aqui,
é a unidade imaginária, e
é a base do logaritmo natural.
Passo 4
Como
, substituímos na equação de Euler:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Rearranjando a equação:
Vamos chamar
de
, então
. Substituindo:
Multiplicamos tudo por
para eliminar a fração:
Passo 6
Isso é uma equação quadrática em
. Resolvendo para
usando a fórmula quadrática:
Simplificando:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Agora, para isolar
, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
:
E como
, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que