Mostre que
cos^(-1) z = -i ln(z +- raiz(z^2 - 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função arco cosseno, representada por , pode ser escrita de outra forma usando logaritmos e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções inversas e relações entre funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função inversa do cosseno. Isso significa que se , então . Nosso objetivo é expressar y em termos de logaritmos.

Passo 3

Sabemos que a função cosseno pode ser expressa usando a fórmula de Euler:
Aqui, i é a unidade imaginária, e e é a base do logaritmo natural.

Passo 4

Como , substituímos na equação de Euler:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Rearranjando a equação:
Vamos chamar de w, então . Substituindo:
Multiplicamos tudo por w para eliminar a fração:

Passo 6

Isso é uma equação quadrática em w. Resolvendo para w usando a fórmula quadrática:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que , temos:
Agora, para isolar y, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:

Passo 8

Finalmente, resolvendo para y:
E como , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que

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