Sobre funções contínuas;
(a) Se
é uma função definida em duas partes:
, se
e
, se
. Encontre
de modo que
seja uma função contínua no ponto
.
(b) Sabendo que
é uma função contínua em
, apresente argumentos, baseados na definição de continuidade, para garantir que a função
é também contínua em
(a) Se
(b) Sabendo que
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) temos a função definida por
e queremos escolher
para que
seja contínua em
.
Na (b) sabemos que é contínua em
e definimos
Na (b) sabemos que
precisamos usar a definição de continuidade para mostrar que
é contínua em
.
Passo 2
Para a parte (a), continuidade em
exige que
O valor em
vem do ramo
, logo
A seguir calculamos os limites laterais.
Passo 3
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Para continuidade igualamos
, isto é
Passo 4
Na parte (b), lembramos a definição de continuidade de
em
:
para todo existe
tal que, se
, então
para todo
Queremos provar que
satisfaz a mesma condição com qualquer
.
Passo 5
Observe que
Dado
, tome
. Como
é contínua, existe
tal que
implica
. Então
o que prova que
é contínua em
.
Resposta
(a)
.
(b) Como , basta aplicar a definição de continuidade de
com
, mostrando que
também satisfaz a condição
.
(b) Como