Sobre funções contínuas;
(a) Se f é uma função definida em duas partes: f(x)=x+2 p, se x \leq-1 e f(x)=p^{2}, se x>-1. Encontre p de modo que f seja uma função contínua no ponto x=-1.
(b) Sabendo que g é uma função contínua em x=a, apresente argumentos, baseados na definição de continuidade, para garantir que a função h(x)=\pi g(x) é também contínua em x=a

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) temos a função definida por
f(x)= \begin{cases} x+2p, & x\le -1,\\\ p^{2}, & x>-1, \end{cases}
e queremos escolher p para que f seja contínua em x=-1.
Na (b) sabemos que g é contínua em x=a e definimos
h(x)=\pi\,g(x),
precisamos usar a definição de continuidade para mostrar que h é contínua em x=a.

Passo 2

Para a parte (a), continuidade em x=-1 exige que
\lim_{x\to-1^-}f(x)=f(-1)=\lim_{x\to-1^+}f(x).
O valor em x=-1 vem do ramo x\le-1, logo
f(-1)=(-1)+2p=-1+2p.
A seguir calculamos os limites laterais.

Passo 3

Limite pela esquerda:
\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}(x+2p)=-1+2p.
Limite pela direita:
\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}p^{2}=p^{2}.
Para continuidade igualamos -1+2p=p^{2}, isto é
p^{2}-2p+1=0\quad\Longrightarrow\quad(p-1)^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad p=1.

Passo 4

Na parte (b), lembramos a definição de continuidade de g em x=a:
para todo \varepsilon'>0 existe \delta>0 tal que, se |x-a|<\delta, então
|g(x)-g(a)|<\varepsilon'.
Queremos provar que h(x)=\pi g(x) satisfaz a mesma condição com qualquer \varepsilon>0.

Passo 5

Observe que
|h(x)-h(a)|=|\pi\,g(x)-\pi\,g(a)|=\pi\,|g(x)-g(a)|.
Dado \varepsilon>0, tome \varepsilon'=\varepsilon/\pi. Como g é contínua, existe \delta tal que |x-a|<\delta implica |g(x)-g(a)|<\varepsilon'. Então
|h(x)-h(a)|=\pi\,|g(x)-g(a)|<\pi\,\frac{\varepsilon}{\pi}=\varepsilon,
o que prova que h é contínua em x=a.

Resposta

(a) p=1.
(b) Como |h(x)-h(a)|=\pi\,|g(x)-g(a)|, basta aplicar a definição de continuidade de g com \varepsilon'=\varepsilon/\pi, mostrando que h também satisfaz a condição \lim_{x\to a}h(x)=h(a).

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