Para a função f(x)=2+\frac{3}{\sqrt[2]{x+4}} descreva o domínio, anote no plano cartesiano os ponto A=(5, f(5)), B=(45, f(45)) e C=(0, f(0)), apresente explicações sobre existência ou não de assíntotas horizontais e verticais e apresente uma figura descrevendo o comportamento do gráfico com as assíntotas, quando e onde houver.

Passo 1

O enunciado nos pede, para a função
f(x)=2+\frac{3}{\sqrt{x+4}},
que a gente faça o seguinte:
• Determine o domínio de f.
• Calcule e anote no plano os pontos A=(5,f(5)), B=(45,f(45)) e C=(0,f(0)).
• Explique se existem assíntotas verticais e/ou horizontais.
• Apresente um esboço do gráfico mostrando essas assíntotas e os pontos calculados.

Passo 2

Para achar o domínio, observe que temos \sqrt{x+4} no denominador. Então, precisamos de
  1. x+4>0 para a raiz ficar real.
  2. \sqrt{x+4}\neq0 para não zerar o denominador.
    Isto implica
x+4>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-4.
Logo, o domínio é
(-4,\infty).

Passo 3

Agora calculamos os valores de f nos pontos pedidos:
f(0)=2+\frac{3}{\sqrt{0+4}} =2+\frac{3}{2} =2+\tfrac32 =\tfrac{7}{2},
f(5)=2+\frac{3}{\sqrt{5+4}} =2+\frac{3}{3} =2+1 =3,
f(45)=2+\frac{3}{\sqrt{45+4}} =2+\frac{3}{7} =2+\tfrac{3}{7} =\tfrac{17}{7}.
Portanto:
A=(5,3),\quad B=\bigl(45,\tfrac{17}{7}\bigr),\quad C=\bigl(0,\tfrac{7}{2}\bigr).

Passo 4

Para as assíntotas:
  • Vertical: quando x\to-4^+, \sqrt{x+4}\to0^+ e 3/\sqrt{x+4}\to+\infty. Logo x=-4é assíntota vertical (à direita, já que o domínio é x>-4).
  • Horizontal: quando x\to+\infty, \sqrt{x+4}\to+\infty e 3/\sqrt{x+4}\to0, então f(x)\to2.Logo y=2é assíntota horizontal.

Passo 5

Esboço do gráfico (eixo x horizontal, y vertical; linhas tracejadas para assíntotas):
        y
        ^
    6 +|                 
      5 +|       .       
        |      C(0,7/2)  
      4 +|              
        |              
      3 +|    A(5,3)   . 
        |             . B(45,17/7)
  y=2 --+------------------------------  
        |                             
        |                             
        +-----+-----+-----+-----+--> x
             -4     0     5    45  
           x=-4│                
                │(função vai a +∞)  
A curva parte de +\infty quando x\to-4^+, decresce continuamente e se aproxima de y=2 quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \,(-4,\infty).
Pontos: A=(5,3), B=\bigl(45,\tfrac{17}{7}\bigr), C=\bigl(0,\tfrac{7}{2}\bigr).
Assíntotas: vertical em x=-4 e horizontal em y=2.

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