Se f(x)=3 x^3-3 x^2+x+1, então f^prime prime(x)= .

Passo 1

Beleza, a gente tem a função $ f(x) = 3x^{3} - 3x^{2} + x + 1 $ e precisa descobrir a segunda derivada dela, que é $ f’’(x) $. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente das derivadas. Pra resolver isso, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação para encontrar a primeira e depois a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. Basicamente, a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. Para encontrar a primeira derivada, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.

Passo 3

Aplicando essa regra na nossa função:
  • A derivada de $ 3x^{3} $ é $ 3 \cdot 3x^{2} = 9x^{2} $.
  • A derivada de $ -3x^{2} $ é $ -3 \cdot 2x = -6x $.
  • A derivada de $ x $ é $ 1 $.
  • A derivada de uma constante, como $ 1 $, é $ 0 $.
Então, a primeira derivada fica:
3x^3

Passo 4

Agora, para achar a segunda derivada $ f’’(x) $, a gente vai derivar novamente $ f’(x) $. Vamos aplicar a mesma regra do poder:
  • A derivada de $ 9x^{2} $ é $ 9 \cdot 2x = 18x $.
  • A derivada de $ -6x $ é $ -6 $.
  • A derivada de uma constante, como $ 1 $, é $ 0 $.
Portanto, a segunda derivada fica:
f''(x)

Resposta

A segunda derivada é $ f’’(x) = 18x - 6 $.

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